微分積分例

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{6^{n}}$

Step 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、無限等比級数の和は公式 $\frac{a}{1 - r}$ を利用して求められます。

Step 2

公式 $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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$a_{n}$ と $a_{n + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{\frac{1}{6^{n + 1}}}{\frac{1}{6^{n}}}$

簡約します。

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分子に分母の逆数を掛けます。

$r = \frac{1}{6^{n + 1}} \cdot 6^{n}$

$\frac{1}{6^{n + 1}}$ と $6^{n}$ をまとめます。

$r = \frac{6^{n}}{6^{n + 1}}$

$6^{n}$ と $6^{n + 1}$ の共通因数を約分します。

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$6^{n + 1}$ を $6^{n}$ で因数分解します。

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1}}$

共通因数を約分します。

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$1$ を掛けます。

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

共通因数を約分します。

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

式を書き換えます。

$r = \frac{6^{n - (n + 1)}}{1}$

$6^{n - (n + 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = 6^{n - (n + 1)}$

各項を簡約します。

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分配則を当てはめます。

$r = 6^{n - n - 1 \cdot 1}$

$- 1$ に $1$ をかけます。

$r = 6^{n - n - 1}$

$n$ から $n$ を引きます。

$r = 6^{0 - 1}$

$0$ から $1$ を引きます。

$r = 6^{- 1}$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$r = \frac{1}{6}$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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$n$ の $0$ を $\frac{1}{6^{n}}$ に代入します。

$a = \frac{1}{6^{0}}$

簡約します。

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$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = \frac{1}{1}$

$1$ を $1$ で割ります。

$a = 1$

Step 5

比と第1項の値を和の公式に代入します。

$\frac{1}{1 - \frac{1}{6}}$

Step 6

簡約します。

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分母を簡約します。

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$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{\frac{6}{6} - \frac{1}{6}}$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{6 - 1}{6}}$

$6$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{\frac{5}{6}}$

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 (\frac{6}{5})$

$\frac{6}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{6}{5}$

Step 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{6}{5}$

10進法形式：

$1.2$

帯分数形：

$1 \frac{1}{5}$

微分積分 例

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