微分積分例

$f (x) = \ln (1 - e^{x})$

Step 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 - e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - e^{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

$u$ のすべての発生を $1 - e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 - e^{x}} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

Step 2

微分します。

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総和則では、 $1 - e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ です。

$\frac{1}{1 - e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 - e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

$0$ と $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 - e^{x}} \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{1}{1 - e^{x}} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Step 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{1 - e^{x}} (- e^{x})$

Step 4

$\frac{1}{1 - e^{x}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$- \frac{e^{x}}{1 - e^{x}}$

微分積分 例