微分積分例

$\frac{x^{2} - 17 x - 18}{x + 6}$

Step 1

式 $\frac{x^{2} - 17 x - 18}{x + 6}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 6$

Step 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

Step 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 2$

$m = 1$

Step 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

Step 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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たすき掛けを利用して $x^{2} - 17 x - 18$ を因数分解します。

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$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 18$ で、その和が $- 17$ です。

$- 18, 1$

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 18) (x + 1)}{x + 6}$

$(x - 18) (x + 1)$ を展開します。

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分配則を当てはめます。

$\frac{x (x + 1) - 18 (x + 1)}{x + 6}$

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 18 (x + 1)}{x + 6}$

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

$x$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{x \cdot x + 1 x - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x + 1 x - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x + 1 x - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 1} + 1 x - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 1 x - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x - 18 x - 18 \cdot 1}{x + 6}$

$- 18$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x - 18 x - 18}{x + 6}$

$x$ から $18 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 17 x - 18}{x + 6}$

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$6$

$x^{2}$

$17 x$

$18$

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$
	$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			+	$x^{2}$	+	$6 x$

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 6 x$ の符号をすべて変更します。

				$x$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$
					-	$23 x$

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$
					-	$23 x$	-	$18$

被除数 $- 23 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x$	-	$23$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$
					-	$23 x$	-	$18$

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$	-	$23$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$
					-	$23 x$	-	$18$
					-	$23 x$	-	$138$

式は被除数から引く必要があるので、 $- 23 x - 138$ の符号をすべて変更します。

				$x$	-	$23$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$
					-	$23 x$	-	$18$
					+	$23 x$	+	$138$

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$	-	$23$
$x$	+	$6$		$x^{2}$	-	$17 x$	-	$18$
			-	$x^{2}$	-	$6 x$
					-	$23 x$	-	$18$
					+	$23 x$	+	$138$
							+	$120$

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x - 23 + \frac{120}{x + 6}$

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x - 23$

Step 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 6$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x - 23$

Step 7

微分積分 例

微分積分例