微分積分例

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = x$

Step 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$2 x - x^{2} = x$

$x$ について $2 x - x^{2} = x$ を解きます。

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$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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方程式の両辺から $x$ を引きます。

$2 x - x^{2} - x = 0$

$2 x$ から $x$ を引きます。

$- x^{2} + x = 0$

$- x$ を $- x^{2} + x$ で因数分解します。

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$- x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- x \cdot x + x = 0$

$x$ を $1 x$ に書き換えます。

$- x \cdot x + 1 x = 0$

$- x$ を $1 x$ で因数分解します。

$- x \cdot x - x \cdot - 1 = 0$

$- x$ を $- x (x) - x (- 1)$ で因数分解します。

$- x (x - 1) = 0$

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 1 = 0 + y = x$

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

最終解は $- x (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

$x = 0$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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$0$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

括弧を削除します。

$y = 0$

$x = 1$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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$1$ を $x$ に代入します。

$y = 1$

括弧を削除します。

$y = 1$

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Step 2

$2 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$y = - x^{2} + 2 x$

Step 3

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{1} x d x$

Step 4

積分し、 $0$ と $1$ の間の面積を求めます。

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積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x - (x) d x$

$2 x$ から $x$ を引きます。

$\int_{0}^{1} - x^{2} + x d x$

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} - x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

代入し簡約します。

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$1$ および $0$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

$1$ および $0$ で $\frac{1}{2} x^{2}$ の値を求めます。

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

簡約します。

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1のすべての数の累乗は1です。

$- (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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$3$ を $0$ で因数分解します。

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

共通因数を約分します。

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$3$ を $3$ で因数分解します。

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

共通因数を約分します。

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

式を書き換えます。

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$0$ を $1$ で割ります。

$- (\frac{1}{3} - 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- (\frac{1}{3} + 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$\frac{1}{3}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

$0$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0$

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

$2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 + 3}{6}$

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{6}$

Step 5

微分積分 例

微分積分例