微分積分例

$f (x) = \frac{3}{x - 7}$

Step 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x - 7}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 7}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 7})$

$\frac{1}{x - 7}$ を ${(x - 7)}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{- 1})$

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 7$ とします。

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 7))$

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

$u$ のすべての発生を $x - 7$ で置き換えます。

$f' (x) = 3 (- {(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = - 3 ({(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

総和則では、 $x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + 0)$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} \cdot 1$

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 3$ と $\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 7)}^{2}}$

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ です。

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

Step 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

分子を0に等しくします。

$3 = 0$

$3 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

Step 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

Step 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 7)}^{2} = 0$

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

Step 5

微分係数 $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \frac{3}{x - 7}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ です。

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Step 6

区間 $(- \infty, 7)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = - \frac{3}{{((6) - 7)}^{2}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$6$ から $7$ を引きます。

$f' (6) = - \frac{3}{{(- 1)}^{2}}$

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (6) = - \frac{3}{1}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ を $1$ で割ります。

$f' (6) = - 1 \cdot 3$

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (6) = - 3$

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

$x = 6$ で微分係数は $- 3$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 7)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 7)$ で減少

Step 7

区間 $(7, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f' (8) = - \frac{3}{{((8) - 7)}^{2}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ から $7$ を引きます。

$f' (8) = - \frac{3}{1^{2}}$

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (8) = - \frac{3}{1}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ を $1$ で割ります。

$f' (8) = - 1 \cdot 3$

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (8) = - 3$

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

$x = 8$ で微分係数は $- 3$ です。これは負の値なので、関数は $(7, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(7, \infty)$ で減少

Step 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 7), (7, \infty)$ で減少

Step 9

微分積分 例

微分積分例