微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{e^{x}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

$2$ に $4$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{e^{x}}$

ステップ 4

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子と分母の極限値をとります。

$8 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$8 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$8 \frac{\infty}{\infty}$

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$8 \frac{\infty}{\infty}$

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分母と分子を微分します。

$8 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{e^{x}}$ は $0$ に近づきます。

$8 \cdot 0$

ステップ 7

$8$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

微分積分例