微分積分例

$\ln (x^{2} + 16)$

Step 1

$\ln (x^{2} + 16)$ を関数で書きます。

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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二次導関数を求めます。

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一次導関数を求めます。

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$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 16$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 16$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

微分します。

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総和則では、 $x^{2} + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (16))$

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + 0)$

分数をまとめます。

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$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x)$

$2$ と $\frac{1}{x^{2} + 16}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 16} \cdot x$

$\frac{2}{x^{2} + 16}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 16}$

二次導関数を求めます。

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$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{x^{2} + 16}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 16})$

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

微分します。

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$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$x^{2} + 16$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

総和則では、 $x^{2} + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

式を簡約します。

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$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$2$ と $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

簡約します。

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分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

各項を簡約します。

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$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

$2$ に $16$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ です。

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ を解きます。

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二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

分子を0に等しくします。

$- 2 x^{2} + 32 = 0$

$x$ について方程式を解きます。

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方程式の両辺から $32$ を引きます。

$- 2 x^{2} = - 32$

$- 2 x^{2} = - 32$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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$- 2 x^{2} = - 32$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

左辺を簡約します。

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$- 2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 32}{- 2}$

右辺を簡約します。

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$- 32$ を $- 2$ で割ります。

$x^{2} = 16$

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{16}$

$\pm \sqrt{16}$ を簡約します。

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$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 4$

Step 3

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$ の定義域を求めます。

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$\ln (x^{2} + 16)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} + 16 > 0$

$x$ について解きます。

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不等式の両辺から $16$ を引きます。

$x^{2} > - 16$

左辺に偶数乗があるので、実数は常に正です。

すべての実数

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

Step 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Step 5

区間 $(- \infty, - 4)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f'' (- 6) = \frac{- 2 {(- 6)}^{2} + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

結果を簡約します。

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分子を簡約します。

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$- 6$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

$- 2$ に $36$ をかけます。

$f'' (- 6) = \frac{- 72 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

$- 72$ と $32$ をたし算します。

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

$36$ と $16$ をたし算します。

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

$52$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{2704}$

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 40$ と $2704$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ を $- 40$ で因数分解します。

$f'' (- 6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ を $2704$ で因数分解します。

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

共通因数を約分します。

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

式を書き換えます。

$f'' (- 6) = \frac{- 5}{338}$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 6) = - \frac{5}{338}$

最終的な答えは $- \frac{5}{338}$ です。

$- \frac{5}{338}$

$f'' (- 6)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 4)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 4)$ で下に凹します。

Step 6

区間 $(- 4, 4)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 32}{{({(0)}^{2} + 16)}^{2}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

$0$ と $32$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{32}{{(0 + 16)}^{2}}$

$0$ と $16$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{32}{16^{2}}$

$16$ を $2$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{32}{256}$

$32$ と $256$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$32$ を $32$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{32 (1)}{256}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$32$ を $256$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

共通因数を約分します。

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

式を書き換えます。

$f'' (0) = \frac{1}{8}$

最終的な答えは $\frac{1}{8}$ です。

$\frac{1}{8}$

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- 4, 4)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 4, 4)$ で上に凹します。

Step 7

区間 $(4, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f'' (6) = \frac{- 2 {(6)}^{2} + 32}{{({(6)}^{2} + 16)}^{2}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$6$ を $2$ 乗します。

$f'' (6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

$- 2$ に $36$ をかけます。

$f'' (6) = \frac{- 72 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

$- 72$ と $32$ をたし算します。

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$6$ を $2$ 乗します。

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

$36$ と $16$ をたし算します。

$f'' (6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

$52$ を $2$ 乗します。

$f'' (6) = \frac{- 40}{2704}$

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 40$ と $2704$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ を $- 40$ で因数分解します。

$f'' (6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ を $2704$ で因数分解します。

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

共通因数を約分します。

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

式を書き換えます。

$f'' (6) = \frac{- 5}{338}$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (6) = - \frac{5}{338}$

最終的な答えは $- \frac{5}{338}$ です。

$- \frac{5}{338}$

$f'' (6)$ が負なので、区間 $(4, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(4, \infty)$ で下に凹します。

Step 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 4)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 4, 4)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(4, \infty)$ で下に凹します。

Step 9

微分積分 例

微分積分例