微分積分例

$y = \sqrt{64 - x^{2}}$ , $y = 0$

Step 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$\sqrt{64 - x^{2}} = 0$

$x$ について $\sqrt{64 - x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{64 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{64 - x^{2}}$ を ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

式を書き換えます。

${(64 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

簡約します。

$64 - x^{2} = 0^{2}$

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$64 - x^{2} = 0$

$x$ について解きます。

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方程式の両辺から $64$ を引きます。

$- x^{2} = - 64$

$- x^{2} = - 64$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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$- x^{2} = - 64$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

左辺を簡約します。

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2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

右辺を簡約します。

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$- 64$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 64$

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{64}$

$\pm \sqrt{64}$ を簡約します。

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$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 8$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 8$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 8$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 8, - 8$

$8$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

Step 2

$\sqrt{64 - x^{2}}$ を簡約します。

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$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{8^{2} - x^{2}}$

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 8$ であり、 $b = x$ です。

$y = \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

Step 3

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x - \int_{- 8}^{8} 0 d x$

Step 4

積分し、 $- 8$ と $8$ の間の面積を求めます。

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積分を1つにまとめます。

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} - (0) d x$

$\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ から $0$ を引きます。

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x$

平方を完成させます。

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式を簡約します。

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分配法則（FOIL法）を使って $(8 + x) (8 - x)$ を展開します。

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分配則を当てはめます。

$8 (8 - x) + x (8 - x)$

分配則を当てはめます。

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x (8 - x)$

分配則を当てはめます。

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

簡約し、同類項をまとめます。

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各項を簡約します。

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$8$ に $8$ をかけます。

$64 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

$- 1$ に $8$ をかけます。

$64 - 8 x + x \cdot 8 + x (- x)$

$8$ を $x$ の左に移動させます。

$64 - 8 x + 8 \cdot x + x (- x)$

積の可換性を利用して書き換えます。

$64 - 8 x + 8 x - x \cdot x$

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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$x$ を移動させます。

$64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)$

$x$ に $x$ をかけます。

$64 - 8 x + 8 x - x^{2}$

$- 8 x$ と $8 x$ をたし算します。

$64 + 0 - x^{2}$

$64$ と $0$ をたし算します。

$64 - x^{2}$

$64$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 64$

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 64$

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

右辺を簡約します。

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$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

$\frac{0}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 0$

$- 1 \cdot 0$ を $- 0$ に書き換えます。

$d = - 0$

$- 1$ に $0$ をかけます。

$d = 0$

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 64 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

右辺を簡約します。

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各項を簡約します。

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$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = 64 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

$4$ に $- 1$ をかけます。

$e = 64 - \frac{0}{- 4}$

$0$ を $- 4$ で割ります。

$e = 64 - 0$

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = 64 + 0$

$64$ と $0$ をたし算します。

$e = 64$

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x + 0)}^{2} + 64$ に代入します。

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 64} d x$

$u_{1} = x + 0$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$u_{1} = x + 0$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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$x + 0$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

総和則では、 $x + 0$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

$u_{1} = x + 0$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 8 + 0$

$- 8$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = - 8$

$u_{1} = x + 0$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 8 + 0$

$8$ と $0$ をたし算します。

$u_{upper} = 8$

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 8 u_{upper} = 8$

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 64} d u_{1}$

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u_{1} = 8 \sin (t)$ とします。次に $d u_{1} = 8 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $8 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64} (8 \cos (t)) d t$

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64}$ を簡約します。

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各項を簡約します。

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積の法則を $8 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (8^{2} \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

$8$ を $2$ 乗します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (64 \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

$64$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 64 \sin^{2} (t) + 64} (8 \cos (t)) d t$

$- 64 \sin^{2} (t)$ と $64$ を並べ替えます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

$64$ を $64$ で因数分解します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

$64$ を $- 64 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

$64$ を $64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1 - \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 \cos^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

$64 \cos^{2} (t)$ を ${(8 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(8 \cos (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 8 \cos (t) (8 \cos (t)) d t$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ に $8$ をかけます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos (t) \cos (t) d t$

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

$\cos (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos^{2} (t) d t$

$64$ は $t$ に対して定数なので、 $64$ を積分の外に移動させます。

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

半角公式を利用して $\cos^{2} (t)$ を $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ に書き換えます。

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$64 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{2}$ と $64$ をまとめます。

$\frac{64}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

$64$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $64$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

式を書き換えます。

$\frac{32}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

$32$ を $1$ で割ります。

$32 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

単一積分を複数積分に分割します。

$32 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

定数の法則を当てはめます。

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

$u_{2} = 2 t$ とします。次に $d u_{2} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$u_{2} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

$u_{2} = 2 t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- \frac{π}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

式を書き換えます。

$u_{lower} = - π$

$u_{2} = 2 t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

式を書き換えます。

$u_{upper} = π$

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - π u_{upper} = π$

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

$\frac{1}{2}$ と $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ をまとめます。

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{π}{2}$ および $- \frac{π}{2}$ で $t$ の値を求めます。

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

$π$ および $- π$ で $\sin (u_{2})$ の値を求めます。

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

公分母の分子をまとめます。

$32 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$π$ と $π$ をたし算します。

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$π$ を $1$ で割ります。

$32 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$32 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$32 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$32 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$32 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$32 (π + \frac{0 - 0}{2})$

$- 1$ に $0$ をかけます。

$32 (π + \frac{0 + 0}{2})$

$0$ と $0$ をたし算します。

$32 (π + \frac{0}{2})$

$0$ を $2$ で割ります。

$32 (π + 0)$

$π$ と $0$ をたし算します。

$32 π$

Step 5

微分積分 例

微分積分例