微分積分例

$x = 4 \sqrt{3 y}$ , $x = 0$ , $y = 3$

Step 1

立体の体積を求めるために、まず各部分の面積を定義し、その値域で積分します。各部分の面積は半径 $f (x)$ と $A = π r^{2}$ を持つ円の面積です。

$f (x) = 3$ および $g (x) = \frac{x^{2}}{48}$ ならば $V = π \int_{0}^{12} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

Step 2

各項を簡約します。

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$3$ を $2$ 乗します。

$V = 9 - {(\frac{x^{2}}{48})}^{2}$

積の法則を $\frac{x^{2}}{48}$ に当てはめます。

$V = 9 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{48^{2}}$

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = 9 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{48^{2}}$

$2$ に $2$ をかけます。

$V = 9 - \frac{x^{4}}{48^{2}}$

$48$ を $2$ 乗します。

$V = 9 - \frac{x^{4}}{2304}$

Step 3

単一積分を複数積分に分割します。

$V = π (\int_{0}^{12} 9 d x + \int_{0}^{12} - \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 4

定数の法則を当てはめます。

$V = π (9 x]_{0}^{12} + \int_{0}^{12} - \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \int_{0}^{12} \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 6

$\frac{1}{2304}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2304}$ を積分の外に移動させます。

$V = π (9 x]_{0}^{12} - (\frac{1}{2304} \cdot \int_{0}^{12} x^{4} d x))$

Step 7

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{1}{2304} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{12})$

Step 8

答えを簡約します。

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簡約します。

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$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{1}{2304} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12})$

$\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}$ と $\frac{1}{2304}$ をまとめます。

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}}{2304})$

代入し簡約します。

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$12$ および $0$ で $9 x$ の値を求めます。

$V = π ((9 \cdot 12) - 9 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}}{2304})$

$12$ および $0$ で $\frac{x^{5}}{5}$ の値を求めます。

$V = π ((9 \cdot 12) - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

簡約します。

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$9$ に $12$ をかけます。

$V = π (108 - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

$- 9$ に $0$ をかけます。

$V = π (108 + 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

$108$ と $0$ をたし算します。

$V = π (108 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

$12$ を $5$ 乗します。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0}{5}}{2304})$

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

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$5$ を $0$ で因数分解します。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{2304})$

共通因数を約分します。

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$5$ を $5$ で因数分解します。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{2304})$

共通因数を約分します。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{2304})$

式を書き換えます。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0}{1}}{2304})$

$0$ を $1$ で割ります。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - 0}{2304})$

$- 1$ に $0$ をかけます。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} + 0}{2304})$

$\frac{248832}{5}$ と $0$ をたし算します。

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5}}{2304})$

$\frac{\frac{248832}{5}}{2304}$ を積として書き換えます。

$V = π (108 - (\frac{248832}{5} \cdot \frac{1}{2304}))$

$\frac{248832}{5}$ に $\frac{1}{2304}$ をかけます。

$V = π (108 - \frac{248832}{5 \cdot 2304})$

$5$ に $2304$ をかけます。

$V = π (108 - \frac{248832}{11520})$

$248832$ と $11520$ の共通因数を約分します。

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$2304$ を $248832$ で因数分解します。

$V = π (108 - \frac{2304 (108)}{11520})$

共通因数を約分します。

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$2304$ を $11520$ で因数分解します。

$V = π (108 - \frac{2304 \cdot 108}{2304 \cdot 5})$

共通因数を約分します。

$V = π (108 - \frac{2304 \cdot 108}{2304 \cdot 5})$

式を書き換えます。

$V = π (108 - \frac{108}{5})$

$108$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$V = π (108 \cdot \frac{5}{5} - \frac{108}{5})$

$108$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$V = π (\frac{108 \cdot 5}{5} - \frac{108}{5})$

公分母の分子をまとめます。

$V = π (\frac{108 \cdot 5 - 108}{5})$

分子を簡約します。

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$108$ に $5$ をかけます。

$V = π (\frac{540 - 108}{5})$

$540$ から $108$ を引きます。

$V = π (\frac{432}{5})$

$π$ と $\frac{432}{5}$ をまとめます。

$V = \frac{π \cdot 432}{5}$

$432$ を $π$ の左に移動させます。

$V = \frac{432 π}{5}$

Step 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$V = \frac{432 π}{5}$

10進法形式：

$V = 271.43360527 \dots$

Step 10

微分積分 例

微分積分例