微分積分例

$\frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 1

$\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 4})$

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$x^{2} - 4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$2$ と $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = - 2 x^{2} - 8$ および $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

総和則では、 $- 2 x^{2} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$2$ を $x^{2} - 4$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) (2 \cdot ((x^{2} - 4) x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} - 4)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

${(x^{2} - 4)}^{2}$ を $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} - 4) (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} - 4) - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 \cdot x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 8 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4$ に $16$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{1 + 2} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2 + 1} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

分配法則（FOIL法）を使って $(8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} (x^{3} - 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{2} x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{3}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$8$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4$ に $32$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 32 x^{3}$ と $32 x^{3}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 0 - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$8 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 4 x^{5}$ と $8 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$- 64 x$ から $128 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4 x$ を $4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4 x$ を $4 x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$4 x$ を $32 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$4 x$ を $- 192 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$4 x$ を $4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$4 x$ を $4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} + 8 u - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

たすき掛けを利用して $u^{2} + 8 u - 48$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 48$ で、その和が $8$ です。

$- 4, 12$

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 4) (u + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{4}}$

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{4}}$

積の法則を $(x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

$x + 2$ と ${(x + 2)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x + 2$ を $4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x + 2$ を ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

$x - 2$ と ${(x - 2)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x - 2$ を $(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x - 2$ を ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(4 x) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ です。

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$

分子を0に等しくします。

$4 x (x^{2} + 12) = 0$

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} + 12 = 0$

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

$x^{2} + 12$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2} + 12$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 12 = 0$

$x$ について $x^{2} + 12 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$x^{2} = - 12$

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 12}$

$\pm \sqrt{- 12}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{12}$

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i \sqrt{3}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i \sqrt{3}$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i \sqrt{3}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

最終解は $4 x (x^{2} + 12) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 4 = 0$

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} = 4$

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2, - 2}$

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2, - 2}$

Step 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Step 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = \frac{4 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 12)}{{((- 4) + 2)}^{3} {((- 4) - 2)}^{3}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

$- 4$ から $2$ を引きます。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 6)}^{3}}$

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 {(- 6)}^{3}}$

$- 6$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 (16 + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

$16$ と $12$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{- 8 \cdot - 216}$

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 8$ に $- 216$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{1728}$

$- 16$ に $28$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{- 448}{1728}$

$- 448$ と $1728$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$64$ を $- 448$ で因数分解します。

$f'' (- 4) = \frac{64 (- 7)}{1728}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$64$ を $1728$ で因数分解します。

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

共通因数を約分します。

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

式を書き換えます。

$f'' (- 4) = \frac{- 7}{27}$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 4) = - \frac{7}{27}$

最終的な答えは $- \frac{7}{27}$ です。

$- \frac{7}{27}$

$f'' (- 4)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 2)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 2)$ で下に凹します。

Step 6

区間 $(- 2, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f'' (- 1) = \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} + 12)}{{((- 1) + 2)}^{3} {((- 1) - 2)}^{3}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{{(- 1 + 2)}^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 3)}^{3}}$

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 {(- 3)}^{3}}$

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 \cdot - 27}$

$- 27$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{- 27}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 (1 + 12)}{- 27}$

$1$ と $12$ をたし算します。

$f'' (- 1) = \frac{- 4 \cdot 13}{- 27}$

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ に $13$ をかけます。

$f'' (- 1) = \frac{- 52}{- 27}$

2つの負の値を割ると正の値になります。

$f'' (- 1) = \frac{52}{27}$

最終的な答えは $\frac{52}{27}$ です。

$\frac{52}{27}$

$f'' (- 1)$ が正なので、区間 $(- 2, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 2, 0)$ で上に凹します。

Step 7

区間 $(0, 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f'' (1) = \frac{4 (1) ({(1)}^{2} + 12)}{{((1) + 2)}^{3} {((1) - 2)}^{3}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{{(1 + 2)}^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(- 1)}^{3}}$

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 {(- 1)}^{3}}$

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 \cdot - 1}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = \frac{4 (1 + 12)}{27 \cdot - 1}$

$1$ と $12$ をたし算します。

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{27 \cdot - 1}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$27$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{- 27}$

$4$ に $13$ をかけます。

$f'' (1) = \frac{52}{- 27}$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (1) = - \frac{52}{27}$

最終的な答えは $- \frac{52}{27}$ です。

$- \frac{52}{27}$

$f'' (1)$ が負なので、区間 $(0, 2)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 2)$ で下に凹します。

Step 8

区間 $(2, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = \frac{4 (4) ({(4)}^{2} + 12)}{{((4) + 2)}^{3} {((4) - 2)}^{3}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ に $4$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ と $2$ をたし算します。

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

$4$ から $2$ を引きます。

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} \cdot 2^{3}}$

$6$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 2^{3}}$

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 8}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{16 (16 + 12)}{216 \cdot 8}$

$16$ と $12$ をたし算します。

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{216 \cdot 8}$

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$216$ に $8$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{1728}$

$16$ に $28$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{448}{1728}$

$448$ と $1728$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$64$ を $448$ で因数分解します。

$f'' (4) = \frac{64 (7)}{1728}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$64$ を $1728$ で因数分解します。

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

共通因数を約分します。

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

式を書き換えます。

$f'' (4) = \frac{7}{27}$

最終的な答えは $\frac{7}{27}$ です。

$\frac{7}{27}$

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(2, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

Step 9

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 2)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 2, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 2)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

Step 10

微分積分 例

微分積分例