微分積分例

$f (x) = \sqrt{3 x - 7}$

Step 1

一次導関数を求めます。

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$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 x - 7}$ を ${(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})$

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 3 x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 7$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

$u$ のすべての発生を $3 x - 7$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

分子を簡約します。

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$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

分数をまとめます。

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分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

$\frac{1}{2}$ と ${(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

総和則では、 $3 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 + \frac{d}{d x} (- 7))$

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 + 0)$

分数をまとめます。

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$3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3$

$\frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ と $3$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{3}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

二次導関数を求めます。

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定数倍の公式を使って微分します。

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$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}})$

指数の基本法則を当てはめます。

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$\frac{1}{{(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

${({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{\frac{- 1}{2}})$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}})$

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = 3 x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 7$ とします。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

$u$ のすべての発生を $3 x - 7$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

${(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{{(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3}{2 (2 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

総和則では、 $3 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

$3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 + \frac{d}{d x} (- 7))$

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 + 0)$

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 3$

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 3 \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

$- 3$ と $\frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 3 \cdot 3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ です。

$- \frac{9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例