微分積分例

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Step 1

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Step 2

二次導関数を求めます。

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一次導関数を求めます。

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微分します。

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総和則では、 $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

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$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (1)$

定数の規則を使って微分します。

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$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 0$

$3 x^{2} - 6 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

二次導関数を求めます。

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総和則では、 $3 x^{2} - 6 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

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$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 6 \cdot 1$

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 6$

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x - 6$ です。

$6 x - 6$

Step 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x - 6 = 0$ を解きます。

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二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x - 6 = 0$

方程式の両辺に $6$ を足します。

$6 x = 6$

$6 x = 6$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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$6 x = 6$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

左辺を簡約します。

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$6$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{6}{6}$

右辺を簡約します。

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$6$ を $6$ で割ります。

$x = 1$

Step 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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$1$ を $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 {(1)}^{2} + 1$

結果を簡約します。

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各項を簡約します。

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1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{2} + 1$

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 1$

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 3 + 1$

足し算と引き算で簡約します。

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$1$ から $3$ を引きます。

$f (1) = - 2 + 1$

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = - 1$

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ で代入して $1$ 求めた点は、 $(1, - 1)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1, - 1)$

Step 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

区間 $(- \infty, 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $0.9$ で置換えます。

$f'' (0.9) = 6 (0.9) - 6$

結果を簡約します。

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$6$ に $0.9$ をかけます。

$f'' (0.9) = 5.4 - 6$

$5.4$ から $6$ を引きます。

$f'' (0.9) = - 0.6$

最終的な答えは $- 0.6$ です。

$- 0.6$

$0.9$ で二次導関数は $- 0.6$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, 1)$ で減少

Step 7

区間 $(1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $1.1$ で置換えます。

$f'' (1.1) = 6 (1.1) - 6$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$6$ に $1.1$ をかけます。

$f'' (1.1) = 6.6 - 6$

$6.6$ から $6$ を引きます。

$f'' (1.1) = 0.6$

最終的な答えは $0.6$ です。

$0.6$

$1.1$ で二次導関数は $0.6$ です。これは正の値なので、 $(1, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

Step 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(1, - 1)$ です。

$(1, - 1)$

Step 9

微分積分 例

微分積分例