微分積分例

$x = 1$ , $x = 3$ , $y = x^{3} - 8$ , $y = 0$

Step 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$x^{3} - 8 = 0$

$x$ について $x^{3} - 8 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x^{3} = 8$

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{3} - 8 = 0$

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 2^{3} = 0$

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

$2$ を $2$ 乗します。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 0$

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

$x^{2} + 2 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2} + 2 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

$x$ について $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

最終解は $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

$2$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

すべての解をまとめます。

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Step 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Step 3

積分し、 $1$ と $3$ の間の面積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

積分し、 $1$ と $3$ の間の面積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

積分を1つにまとめます。

$\int_{1}^{3} 0 - (x^{3} - 8) d x$

$0$ から $x^{3} - 8$ を引きます。

$\int_{1}^{3} - (x^{3} - 8) d x$

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 8 d x$

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

定数の法則を当てはめます。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 8 x]_{1}^{3}$

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ および $1$ で $\frac{x^{4}}{4}$ の値を求めます。

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 8 x]_{1}^{3}$

$3$ および $1$ で $8 x$ の値を求めます。

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ を $4$ 乗します。

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

1のすべての数の累乗は1です。

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{81 - 1}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

$81$ から $1$ を引きます。

$- \frac{80}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

$80$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $80$ で因数分解します。

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

共通因数を約分します。

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

式を書き換えます。

$- \frac{20}{1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

$20$ を $1$ で割ります。

$- 1 \cdot 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

$- 1$ に $20$ をかけます。

$- 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

$8$ に $3$ をかけます。

$- 20 + 24 - 8 \cdot 1$

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 20 + 24 - 8$

$24$ から $8$ を引きます。

$- 20 + 16$

$- 20$ と $16$ をたし算します。

$- 4$

積分を1つにまとめます。

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 - (0) d x$

$x^{3} - 8$ から $0$ を引きます。

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x$

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 8 d x$

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 8 d x$

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + - 8 x]_{1}^{3}$

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}$ と $- 8 x]_{1}^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} x^{4} - 8 x]_{1}^{3}$

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ および $1$ で $\frac{1}{4} x^{4} - 8 x$ の値を求めます。

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - 8 \cdot 3) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{4} \cdot 81 - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

$\frac{1}{4}$ と $81$ をまとめます。

$\frac{81}{4} - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

$- 8$ に $3$ をかけます。

$\frac{81}{4} - 24 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

$- 24$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{81}{4} - 24 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

$- 24$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{81}{4} + \frac{- 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{81 - 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 24$ に $4$ をかけます。

$\frac{81 - 96}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

$81$ から $96$ を引きます。

$\frac{- 15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 8 \cdot 1)$

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot 1)$

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8)$

$- 8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4})$

$- 8$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4})$

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 8 \cdot 4}{4}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 8$ に $4$ をかけます。

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 32}{4}$

$1$ から $32$ を引きます。

$- \frac{15}{4} - \frac{- 31}{4}$

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{15}{4} - - \frac{31}{4}$

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{15}{4} + 1 (\frac{31}{4})$

$\frac{31}{4}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{15}{4} + \frac{31}{4}$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 15 + 31}{4}$

$- 15$ と $31$ をたし算します。

$\frac{16}{4}$

$16$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 4}{4}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

式を書き換えます。

$\frac{4}{1}$

$4$ を $1$ で割ります。

$4$

Step 4

微分積分 例

微分積分例