微分積分例

$\frac{\sqrt{t}}{2 t - 1}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2 t - 1}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = 2 t - 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

ステップ 3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

ステップ 8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(2 t - 1) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$\frac{1}{2}$ と $t^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(2 t - 1) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t - 1]}{{(2 t - 1)}^{2}}$

ステップ 9

総和則では、 $2 t - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(2 t - 1)}^{2}}$

ステップ 10

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(2 t - 1)}^{2}}$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(2 t - 1)}^{2}}$

ステップ 12

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(2 t - 1)}^{2}}$

ステップ 13

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (2 + 0)}{{(2 t - 1)}^{2}}$

ステップ 14

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(2 t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $2 t$ で因数分解します。

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$2$ を $2 t^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

共通因数を約分します。

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

式を書き換えます。

$\frac{t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$t$ と $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{t}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $t^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

指数を足して $t$ に $t^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$t$ に $t^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{t^{1 - \frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$- 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ を $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ に書き換えます。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$t^{\frac{1}{2}}$ から $2 t^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$\frac{- t^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ を $- t^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ を $- t^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$- 1$ を $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$- 1$ を $- (t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ で因数分解します。

$\frac{- (t^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$t^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{- (t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$t^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(2 t - 1)}^{2}}$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

指数を足して $t^{\frac{1}{2}}$ に $t^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$t^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{- \frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{2}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{- \frac{2 t^{1} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$2 t^{1}$ を簡約します。

$\frac{- \frac{2 t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 1)}^{2}}$

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{2 t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(2 t - 1)}^{2}}$

$\frac{1}{{(2 t - 1)}^{2}}$ に $\frac{2 t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$- \frac{2 t + 1}{{(2 t - 1)}^{2} (2 t^{\frac{1}{2}})}$

$2$ を ${(2 t - 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 t + 1}{2 \cdot {(2 t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

$- \frac{2 t + 1}{2 {(2 t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{2 t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 1)}^{2}}$

微分積分 例

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