微分積分例

$y = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$

Step 1

$y = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$

Step 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x^{2}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

$2$ に $- 7$ をかけます。

$3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 14 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 14 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

$- 5$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 14 x - 5 + \frac{d}{d x} [5]$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 14 x - 5 + 0$

$3 x^{2} - 14 x - 5$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 14 x - 5$

Step 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $3 x^{2} - 14 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

$\frac{d}{d x} [- 14 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 14$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 14 x$ の微分係数は $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x - 14 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 5)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

$- 14$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x - 14 + \frac{d}{d x} (- 5)$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x - 14 + 0$

$6 x - 14$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x - 14$

Step 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Step 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x^{2}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

$2$ に $- 7$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

$- 5$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 + \frac{d}{d x} (5)$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 + 0$

$3 x^{2} - 14 x - 5$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 14 x - 5$ です。

$3 x^{2} - 14 x - 5$

Step 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ で和が $b = - 14$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 14$ を $- 14 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

$- 14$ を $1$ プラス $- 15$ に書き換える

$3 x^{2} + (1 - 15) x - 5 = 0$

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 1 x - 15 x - 5 = 0$

$x$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + x - 15 x - 5 = 0$

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} + x) - 15 x - 5 = 0$

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x + 1) - 5 (3 x + 1) = 0$

最大公約数 $3 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x + 1) (x - 5) = 0$

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$3 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$3 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 1 = 0$

$x$ について $3 x + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 x = - 1$

$3 x = - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3 x = - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{3}$

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{3}$

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

最終解は $(3 x + 1) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{3}, 5$

Step 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

Step 8

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{1}{3}, 5$

Step 9

$x = - \frac{1}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (- \frac{1}{3}) - 14$

Step 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$6 (\frac{- 1}{3}) - 14$

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 (2) \frac{- 1}{3} - 14$

共通因数を約分します。

$3 \cdot 2 \frac{- 1}{3} - 14$

式を書き換えます。

$2 \cdot - 1 - 14$

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 - 14$

$- 2$ から $14$ を引きます。

$- 16$

Step 11

$x = - \frac{1}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{1}{3}$ は極大値です

Step 12

$x = - \frac{1}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- \frac{1}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

積の法則を $- \frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1^{3}}{3^{3}} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{3^{3}} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

$3$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

積の法則を $- \frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

$\frac{1^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 \frac{1}{3^{2}} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 (\frac{1}{9}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

$- 7$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} + \frac{- 7}{9} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

$- 5 (- \frac{1}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} + 5 (\frac{1}{3}) + 5$

$5$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} + \frac{5}{3} + 5$

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{7}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - (\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{5}{3} + 5$

$\frac{7}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} + 5$

$\frac{5}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{9} + 5$

$\frac{5}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 5$

$5$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

$\frac{5}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

$\frac{5}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

$3$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

$3$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 7 \cdot 3 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 7$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

$5$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 45 + 5 \cdot 27}{27}$

$5$ に $27$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 45 + 135}{27}$

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ から $21$ を引きます。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 22 + 45 + 135}{27}$

$- 22$ と $45$ をたし算します。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{23 + 135}{27}$

$23$ と $135$ をたし算します。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{158}{27}$

最終的な答えは $\frac{158}{27}$ です。

$y = \frac{158}{27}$

Step 13

$x = 5$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (5) - 14$

Step 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$6$ に $5$ をかけます。

$30 - 14$

$30$ から $14$ を引きます。

$16$

Step 15

$x = 5$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 5$ は極小値です

Step 16

$x = 5$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = {(5)}^{3} - 7 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5 + 5$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$5$ を $3$ 乗します。

$f (5) = 125 - 7 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5 + 5$

$5$ を $2$ 乗します。

$f (5) = 125 - 7 \cdot 25 - 5 \cdot 5 + 5$

$- 7$ に $25$ をかけます。

$f (5) = 125 - 175 - 5 \cdot 5 + 5$

$- 5$ に $5$ をかけます。

$f (5) = 125 - 175 - 25 + 5$

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$125$ から $175$ を引きます。

$f (5) = - 50 - 25 + 5$

$- 50$ から $25$ を引きます。

$f (5) = - 75 + 5$

$- 75$ と $5$ をたし算します。

$f (5) = - 70$

最終的な答えは $- 70$ です。

$y = - 70$

Step 17

$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ の極値です。

$(- \frac{1}{3}, \frac{158}{27})$ は極大値です

$(5, - 70)$ は極小値です

Step 18

微分積分 例

微分積分例