微分積分例

$\frac{x - 4}{x^{2}}$

Step 1

$\frac{x - 4}{x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x - 4}{x^{2}}$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = x - 4$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 4) (2 x)}{x^{4}}$

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 (x - 4) x}{x^{4}}$

$x$ を $x^{2} - 2 (x - 4) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 (x - 4) x}{x^{4}}$

$x$ を $- 2 (x - 4) x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 4))}{x^{4}}$

$x$ を $x \cdot x + x (- 2 (x - 4))$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x^{4}}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x \cdot x^{3}}$

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x \cdot x^{3}}$

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x - 2 (x - 4)}{x^{3}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{x - 2 x - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x - 2 x + 8}{x^{3}}$

$x$ から $2 x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x + 8}{x^{3}}$

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{- (x) + 8}{x^{3}}$

$8$ を $- 1 (- 8)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot - 8}{x^{3}}$

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 8)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{- (x - 8)}{x^{3}}$

$- (x - 8)$ を $- 1 (x - 8)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 8)}{x^{3}}$

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x - 8}{x^{3}}$

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{x - 8}{x^{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x - 8}{x^{3}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

$f (x) = x - 8$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

$3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

総和則では、 $x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - (x - 8) (3 x^{2})}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - 3 (x - 8) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

$x^{2}$ を $x^{3} - 3 (x - 8) x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} x - 3 (x - 8) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

$x^{2}$ を $- 3 (x - 8) x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 8))}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 8))$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot 0$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{x - 8}{x^{3}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + 0$

$- \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{x - 3 x - 3 \cdot - 8}{x^{4}}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 3$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x - 3 x + 24}{x^{4}}$

$x$ から $3 x$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{- 2 x + 24}{x^{4}}$

$2$ を $- 2 x + 24$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- x) + 24}{x^{4}}$

$2$ を $24$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- x) + 2 (12)}{x^{4}}$

$2$ を $2 (- x) + 2 (12)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- x + 12)}{x^{4}}$

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x) + 12)}{x^{4}}$

$12$ を $- 1 (- 12)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x) - 1 \cdot - 12)}{x^{4}}$

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 12)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x - 12))}{x^{4}}$

$- (x - 12)$ を $- 1 (x - 12)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x - 12))}{x^{4}}$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x - 12)}{x^{4}})$

$\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$ です。

$\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 (x - 12)}{x^{4}} = 0$

分子を0に等しくします。

$2 (x - 12) = 0$

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 (x - 12) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2 (x - 12) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (x - 12)}{2} = \frac{0}{2}$

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x - 12)}{2} = \frac{0}{2}$

$x - 12$ を $1$ で割ります。

$x - 12 = \frac{0}{2}$

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を $2$ で割ります。

$x - 12 = 0$

方程式の両辺に $12$ を足します。

$x = 12$

Step 3

$f (x) = \frac{x - 4}{x^{2}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{x - 4}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

Step 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 12) \cup (12, \infty)$

Step 5

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = \frac{2 ((- 2) - 12)}{{(- 2)}^{4}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ と ${(- 2)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2 ((- 2) - 12)}{{(- 2)}^{4}}$

$- 2$ を $- 1 (- 2) (- 2 - 12)$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{{(- 2)}^{4}}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2$ を ${(- 2)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{- 2 {(- 2)}^{3}}$

共通因数を約分します。

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{- 2 {(- 2)}^{3}}$

式を書き換えます。

$f'' (- 2) = \frac{- 1 (- 2 - 12)}{{(- 2)}^{3}}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2$ から $12$ を引きます。

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 14}{{(- 2)}^{3}}$

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 14}{- 8}$

$- 1$ に $- 14$ をかけます。

$f'' (- 2) = \frac{14}{- 8}$

$14$ と $- 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $14$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{2 (7)}{- 8}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 4}$

共通因数を約分します。

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 4}$

式を書き換えます。

$f'' (- 2) = \frac{7}{- 4}$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 2) = - \frac{7}{4}$

最終的な答えは $- \frac{7}{4}$ です。

$- \frac{7}{4}$

$f'' (- 2)$ が負なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

Step 6

区間 $(0, 12)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{{(2)}^{4}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を ${(2)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{2 \cdot 2^{3}}$

共通因数を約分します。

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{2 \cdot 2^{3}}$

式を書き換えます。

$f'' (2) = \frac{(2) - 12}{2^{3}}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ から $12$ を引きます。

$f'' (2) = \frac{- 10}{2^{3}}$

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{- 10}{8}$

$- 10$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{2 (- 5)}{8}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

共通因数を約分します。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

式を書き換えます。

$f'' (2) = \frac{- 5}{4}$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (2) = - \frac{5}{4}$

最終的な答えは $- \frac{5}{4}$ です。

$- \frac{5}{4}$

$f'' (2)$ が負なので、区間 $(0, 12)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 12)$ で下に凹します。

Step 7

区間 $(12, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $14$ で置換えます。

$f'' (14) = \frac{2 ((14) - 12)}{{(14)}^{4}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$14$ から $12$ を引きます。

$f'' (14) = \frac{2 \cdot 2}{14^{4}}$

$14$ を $4$ 乗します。

$f'' (14) = \frac{2 \cdot 2}{38416}$

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (14) = \frac{4}{38416}$

$4$ と $38416$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $4$ で因数分解します。

$f'' (14) = \frac{4 (1)}{38416}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $38416$ で因数分解します。

$f'' (14) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 9604}$

共通因数を約分します。

$f'' (14) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 9604}$

式を書き換えます。

$f'' (14) = \frac{1}{9604}$

最終的な答えは $\frac{1}{9604}$ です。

$\frac{1}{9604}$

$f'' (14)$ が正なので、区間 $(12, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(12, \infty)$ で上に凹します。

Step 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 12)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(12, \infty)$ で上に凹します。

Step 9

微分積分 例

微分積分例