微分積分例

$f (x) = x^{4}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3}$

二次導関数を求めます。

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$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2}$

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2}$ です。

$12 x^{2}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} = 0$ を解きます。

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二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} = 0$

$12 x^{2} = 0$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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$12 x^{2} = 0$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

左辺を簡約します。

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$12$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{0}{12}$

右辺を簡約します。

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$0$ を $12$ で割ります。

$x^{2} = 0$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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$0$ を $f (x) = x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4}$

結果を簡約します。

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$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0$

最終的な答えは $0$ です。

$0$

$f (x) = x^{4}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

結果を簡約します。

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$- 0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01$

$12$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = 0.12$

最終的な答えは $0.12$ です。

$0.12$

$- 0.1$ で二次導関数は $0.12$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01$

$12$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.12$

最終的な答えは $0.12$ です。

$0.12$

$0.1$ で二次導関数は $0.12$ です。これは正の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。この条件を満たす点は、グラフ上に存在しません。

変曲点がありません

微分積分 例

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