微分積分例

$\sqrt{x - 1}$

Step 1

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{y - 1}$

Step 2

$y$ について解きます。

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方程式を $\sqrt{y - 1} = x$ として書き換えます。

$\sqrt{y - 1} = x$

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{y - 1}}^{2} = x^{2}$

方程式の各辺を簡約します。

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$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y - 1}$ を ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

左辺を簡約します。

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${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

$2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

式を書き換えます。

${(y - 1)}^{1} = x^{2}$

簡約します。

$y - 1 = x^{2}$

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = x^{2} + 1$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$

Step 4

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ が $f (x) = \sqrt{x - 1}$ の逆か確認します。

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逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt{x - 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(\sqrt{x - 1})}^{2} + 1$

${\sqrt{x - 1}}^{2}$ を $x - 1$ に書き換えます。

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$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = (x - 1) + 1$

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x - 1 + 1$

$x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x + 0$

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x$

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{2} + 1)$ の値を求めます。

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{(x^{2} + 1) - 1}$

$1$ から $1$ を引きます。

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2} + 0}$

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (x^{2} + 1) = x$

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ は $f (x) = \sqrt{x - 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$

微分積分 例

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