微分積分例

$f (x) = x^{3} - 3 x - 2$

Step 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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二次導関数を求めます。

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一次導関数を求めます。

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微分します。

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総和則では、 $x^{3} - 3 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} (- 2)$

定数の規則を使って微分します。

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$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + 0$

$3 x^{2} - 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

二次導関数を求めます。

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総和則では、 $3 x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 3)$

定数の規則を使って微分します。

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$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x + 0$

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x$

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x$ です。

$6 x$

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x = 0$ を解きます。

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二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x = 0$

$6 x = 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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$6 x = 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

左辺を簡約します。

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$6$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{6}$

右辺を簡約します。

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$0$ を $6$ で割ります。

$x = 0$

Step 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

Step 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 4

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = 6 (- 2)$

結果を簡約します。

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$6$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 12$

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

$f'' (- 2)$ が負なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

Step 5

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = 6 (2)$

結果を簡約します。

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$6$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = 12$

最終的な答えは $12$ です。

$12$

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

Step 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

Step 7

微分積分 例

微分積分例