微分積分例

$f (x) = x^{3} - 12 x - 5$

Step 1

一次導関数を求めます。

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一次導関数を求めます。

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微分します。

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総和則では、 $x^{3} - 12 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 5)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} (- 5)$

定数の規則を使って微分します。

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$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 + 0$

$3 x^{2} - 12$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 12$ です。

$3 x^{2} - 12$

Step 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 12 = 0$ を解きます。

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一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 12 = 0$

方程式の両辺に $12$ を足します。

$3 x^{2} = 12$

$3 x^{2} = 12$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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$3 x^{2} = 12$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

左辺を簡約します。

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$3$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{12}{3}$

右辺を簡約します。

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$12$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = 4$

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

Step 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

Step 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 12 x - 5$ の値を求めます。

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$x = 2$ での値を求めます。

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$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{3} - 12 \cdot 2 - 5$

簡約します。

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各項を簡約します。

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$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 12 \cdot 2 - 5$

$- 12$ に $2$ をかけます。

$8 - 24 - 5$

数を引いて簡約します。

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$8$ から $24$ を引きます。

$- 16 - 5$

$- 16$ から $5$ を引きます。

$- 21$

$x = - 2$ での値を求めます。

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$- 2$ を $x$ に代入します。

${(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 - 5$

簡約します。

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各項を簡約します。

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$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 - 12 \cdot - 2 - 5$

$- 12$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 + 24 - 5$

足し算と引き算で簡約します。

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$- 8$ と $24$ をたし算します。

$16 - 5$

$16$ から $5$ を引きます。

$11$

点のすべてを一覧にします。

$(2, - 21), (- 2, 11)$

Step 5

微分積分 例

微分積分例