微分積分例

$\sqrt{x^{2} - 1}$

Step 1

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{y^{2} - 1}$

Step 2

$y$ について解きます。

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方程式を $\sqrt{y^{2} - 1} = x$ として書き換えます。

$\sqrt{y^{2} - 1} = x$

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{y^{2} - 1}}^{2} = x^{2}$

方程式の各辺を簡約します。

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$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y^{2} - 1}$ を ${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

左辺を簡約します。

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${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

$2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

式を書き換えます。

${(y^{2} - 1)}^{1} = x^{2}$

簡約します。

$y^{2} - 1 = x^{2}$

$y$ について解きます。

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方程式の両辺に $1$ を足します。

$y^{2} = x^{2} + 1$

方程式の両辺の平方根を取り、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 1}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 4

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ が $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ の逆か確認します。

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逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ を求め、それらを比較します。

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ の値域を求めます。

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値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, \infty)$

Find the domain of the inverse.

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$\sqrt{x^{2} + 1}$ の定義域を求めます。

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$\sqrt{x^{2} + 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} + 1 \geq 0$

$x$ について解きます。

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不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} \geq - 1$

左辺に偶数乗があるので、実数は常に正です。

すべての実数

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

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和集合は各区間に含まれる要素からなります。

$(- \infty, \infty)$

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ の定義域が $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ は $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ の逆ではありません。

逆はありません

Step 5

微分積分 例

微分積分例