微分積分例

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Step 1

一次導関数を求めます。

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$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

簡約します。

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項を並べ替えます。

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Step 2

二次導関数を求めます。

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総和則では、 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ の値を求めます。

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$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

$\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ の値を求めます。

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$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x e^{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

簡約します。

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分配則を当てはめます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

$e^{x} (2 x)$ と $2 x e^{x}$ をたし算します。

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$e^{x}$ を移動させます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

$2 x e^{x}$ と $2 x e^{x}$ をたし算します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

$e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Step 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ です。

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

微分積分 例

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