微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x}$

Step 1

分子と分母の極限値を求めます。

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分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

分子の極限値を求めます。

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極限を求めます。

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対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\ln (1 + 4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (1 + 4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

答えを簡約します。

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$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

Step 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + 4 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$u$ のすべての発生を $1 + 4 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [1 + 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

総和則では、 $1 + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

$0$ と $\frac{d}{d x} [4 x]$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

$4$ と $\frac{1}{1 + 4 x}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

$\frac{4}{1 + 4 x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{1 + 4 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{4 x + 1}}{1}$

Step 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1} \cdot 1$

Step 5

極限を求めます。

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$\frac{4}{4 x + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{4}{4 x + 1}$

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 x + 1}$

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$4 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}$

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + 1}$

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1}$

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$4 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x + 1}$

Step 6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}$

Step 7

答えを簡約します。

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分母を簡約します。

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$4$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{1}{0 + 1}$

$0$ と $1$ をたし算します。

$4 (\frac{1}{1})$

$1$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$4 (\frac{1}{1})$

式を書き換えます。

$4 \cdot 1$

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

微分積分 例

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