微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)}{\ln (x)}$

Step 1

分子と分母の極限値を求めます。

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分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

分子の極限値を求めます。

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極限を求めます。

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$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

答えを簡約します。

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$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

分母の極限値を求めます。

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対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (1)}$

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

Step 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Step 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Step 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1} 1 x$

Step 5

$x$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} x$

Step 6

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$1$

微分積分 例

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