微分積分例

$y = \tan^{-1} (x^{2})$

Step 1

一次導関数を求めます。

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$f (x) = \tan^{-1} (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\tan^{-1} (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$u$ に関する $\tan^{-1} (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$f' (x) = \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

べき乗則を使って微分します。

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${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot (2 x)$

分数をまとめます。

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$2$ と $\frac{1}{1 + x^{4}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2}{1 + x^{4}} \cdot x$

$\frac{2}{1 + x^{4}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}$

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Step 2

二次導関数を求めます。

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$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{4} + 1})$

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{4} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

微分します。

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$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$x^{4} + 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

総和則では、 $x^{4} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

式を簡約します。

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$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

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$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

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$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$3$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$x^{4}$ から $4 x^{4}$ を引きます。

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

$2$ と $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

簡約します。

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分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

各項を簡約します。

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$- 3$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$2$ を $- 6 x^{4} + 2$ で因数分解します。

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$2$ を $- 6 x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$2$ を $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$- 1$ を $- 3 x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$- 1$ を $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

$- (3 x^{4} - 1)$ を $- 1 (3 x^{4} - 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例