微分積分例

$f (x) = \arctan (x)$

Step 1

一次導関数を求めます。

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$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Step 2

二次導関数を求めます。

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$\frac{1}{x^{2} + 1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

微分します。

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総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

式を簡約します。

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$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

簡約します。

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負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

項をまとめます。

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$- 2$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

$x$ と $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Step 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ です。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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