微分積分例

$f (x) = \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Step 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = 1 - \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$f' (x) = \frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} (- \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f' (x) = \frac{\sin (x) (- \frac{d}{d x} \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f' (x) = \frac{\sin (x) (\sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

掛け算します。

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$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{\sin (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

簡約します。

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分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 + \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot (1 \cos (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

分子を簡約します。

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各項を簡約します。

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$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

$- 1 \cos (x)$ を $- \cos (x)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

$- - \cos (x)$ を掛けます。

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$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

$\cos^{2} (x)$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$f' (x) = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Step 2

二次導関数を求めます。

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$f (x) = 1 - \cos (x)$ および $g (x) = \sin^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

微分します。

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${(\sin^{2} (x))}^{2}$ の指数を掛けます。

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べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (1 - \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (- \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (- \frac{d}{d x} \cos (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (\sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

指数を足して $\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ を掛けます。

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$\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{{\sin (x)}^{2 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)}{\sin^{4} (x)}$

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (2 u \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - (1 - \cos (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

くくりだして簡約します。

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$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\sin^{3} (x) - 2 (1 - \cos (x)) (\sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\sin (x)$ を $\sin^{3} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sin (x)$ を $\sin^{3} (x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

$\sin (x)$ を $- 2 (1 - \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) (- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

$\sin (x)$ を $\sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) (- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sin (x)$ を $\sin^{4} (x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{\sin (x) (\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} \sin (x)}{\sin^{3} (x)}$

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos (x))) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cdot (1 \cos (x)) - 2 (- \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 (- \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

$2 \cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{3} (x)}$

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Step 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$ です。

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

微分積分 例

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