微分積分例

$\frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$

Step 1

$\frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$

Step 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Step 4

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Step 5

指数の基本法則を当てはめます。

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$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

分数の前に負数を移動させます。

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Step 6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Step 7

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Step 8

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例