微分積分例

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)}$

Step 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 0} \tan (8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

$8$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\tan (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (8 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ に $0$ をかけます。

$\frac{\tan (0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} 2 t)}$

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sin (2 lim_{t \to 0} t)}$

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

Step 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Step 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$f (t) = \tan (t)$ および $g (t) = 8 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $8 t$ とします。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$u$ のすべての発生を $8 t$ で置き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $8 t$ の微分係数は $8 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$8$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \cdot 8}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$8$ を $\sec^{2} (8 t)$ の左に移動させます。

$lim_{t \to 0} \frac{8 \cdot \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$8$ に $\sec^{2} (8 t)$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = 2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 t$ とします。

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]}$

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]}$

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]}$

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \cdot 1)}$

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \cdot 2}$

$2$ を $\cos (2 t)$ の左に移動させます。

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cdot \cos (2 t)}$

$2$ に $\cos (2 t)$ をかけます。

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cos (2 t)}$

Step 4

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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$2$ を $8 \sec^{2} (8 t)$ で因数分解します。

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

共通因数を約分します。

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$2$ を $2 \cos (2 t)$ で因数分解します。

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 (\cos (2 t))}$

共通因数を約分します。

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

式を書き換えます。

$lim_{t \to 0} \frac{4 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 5

$4$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 6

$t$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$4 \frac{lim_{t \to 0} \sec^{2} (8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (8 t)$ から極限値外側に移動させます。

$4 \frac{{(lim_{t \to 0} \sec (8 t))}^{2}}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 8

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{\sec^{2} (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 9

$8$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 10

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Step 11

$2$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Step 12

すべての $t$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

$t$ を $0$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Step 13

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{\sec^{2} (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 \frac{1^{2}}{\cos (2 \cdot 0)}$

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

分母を簡約します。

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$2$ に $0$ をかけます。

$4 \frac{1}{\cos (0)}$

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 (\frac{1}{1})$

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$4 (\frac{1}{1})$

式を書き換えます。

$4 \cdot 1$

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

微分積分 例

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