微分積分例

$y = \sec (2 x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sec (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\sec (u)$ の微分係数は $\sec (u) \tan (u)$ です。

$f' (x) = \sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f' (x) = \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 1.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

ステップ 1.2.3.2

$2$ を $\sec (2 x) \tan (2 x)$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 2.2

$f (x) = \sec (2 x)$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 2.3

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\tan (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 2.3.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 2.4

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\sec^{2} (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 ({\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 2.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 2.6.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 2.6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 2.6.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 2.6.4.2

$2$ を $\sec^{3} (2 x)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 2 (2 \cdot \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 2.7

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

ステップ 2.7.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

ステップ 2.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

ステップ 2.8

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

ステップ 2.9

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

ステップ 2.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

ステップ 2.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

ステップ 2.12

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 2.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 2.14

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2)$

ステップ 2.14.2

$2$ を $\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \cdot (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)))$

ステップ 2.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.15.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x)) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

ステップ 2.15.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.15.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

ステップ 2.15.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$

ステップ 2.15.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ です。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ です。

$f''' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \tan^{2} (2 x)$ および $g (x) = \sec (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.3

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\sec (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.3.2

$u_{1}$ に関する $\sec (u_{1})$ の微分係数は $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ です。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.6

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (2 x)$ とします。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (2 x)$ で置き換えます。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.7

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $2 x$ とします。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\frac{d}{d u (3)} (\tan (u_{3})) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.7.2

$u_{3}$ に関する $\tan (u_{3})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{3})$ です。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.7.3

$u_{3}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.10

$2$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.11

$2$ を $\sec (2 x) \tan (2 x)$ の左に移動させます。

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.12

指数を足して $\tan^{2} (2 x)$ に $\tan (2 x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.12.1

$\tan (2 x)$ を移動させます。

$f''' (x) = 4 (\tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.12.2

$\tan (2 x)$ に $\tan^{2} (2 x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.12.2.1

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = 4 (\tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.12.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = 4 ({\tan (2 x)}^{1 + 2} (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.12.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f''' (x) = 4 (\tan^{3} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.13

$2$ を $\tan^{3} (2 x)$ の左に移動させます。

$f''' (x) = 4 (2 \cdot (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.14

$2$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.15

$2$ を $\sec^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.16

$2$ に $2$ をかけます。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.17

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.2.19

$1$ と $2$ をたし算します。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sec^{3} (2 x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x)]$ です。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x))$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \sec (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $\sec (2 x)$ とします。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (\frac{d}{d u (4)} ({u_{4}}^{3}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 3.3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ は $n {u_{4}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 3.3.2.3

$u_{4}$ のすべての発生を $\sec (2 x)$ で置き換えます。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

ステップ 3.3.3

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{5}$ を $2 x$ とします。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u (5)} (\sec (u_{5})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

ステップ 3.3.3.2

$u_{5}$ に関する $\sec (u_{5})$ の微分係数は $\sec (u_{5}) \tan (u_{5})$ です。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (u_{5}) \tan (u_{5}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

ステップ 3.3.3.3

$u_{5}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

ステップ 3.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))))$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))$

ステップ 3.3.6

$2$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2))$

ステップ 3.3.7

$2$ を $\sec (2 x) \tan (2 x)$ の左に移動させます。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))))$

ステップ 3.3.8

$2$ に $3$ をかけます。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)))$

ステップ 3.3.9

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x))$

ステップ 3.3.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x))$

ステップ 3.3.11

$1$ と $2$ をたし算します。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 3.3.12

$6$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$2$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

ステップ 3.4.2.2

$4$ に $4$ をかけます。

$f''' (x) = 8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 (\tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

ステップ 3.4.2.3

$16 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$f''' (x) = 8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

ステップ 3.4.2.4

$16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ と $24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ をたし算します。

$f''' (x) = 8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)]$ です。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)]$ です。

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.2

$f (x) = \tan^{3} (2 x)$ および $g (x) = \sec (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.3

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\sec (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.3.2

$u_{1}$ に関する $\sec (u_{1})$ の微分係数は $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ です。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.6

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (2 x)$ とします。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.6.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (2 x)$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.7

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $2 x$ とします。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u (3)} (\tan (u_{3})) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.7.2

$u_{3}$ に関する $\tan (u_{3})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{3})$ です。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.7.3

$u_{3}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.10

$2$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.11

$2$ を $\sec (2 x) \tan (2 x)$ の左に移動させます。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.12

指数を足して $\tan^{3} (2 x)$ に $\tan (2 x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.12.1

$\tan (2 x)$ を移動させます。

$f^{4} (x) = 8 (\tan (2 x) \tan^{3} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.12.2

$\tan (2 x)$ に $\tan^{3} (2 x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.12.2.1

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 8 (\tan (2 x) \tan^{3} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.12.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 8 ({\tan (2 x)}^{1 + 3} (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.12.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{4} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.13

$2$ を $\tan^{4} (2 x)$ の左に移動させます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \cdot (\tan^{4} (2 x) \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.14

$2$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.15

$2$ を $\sec^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.16

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.17

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.2.19

$1$ と $2$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$40$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ の微分係数は $40 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x) \tan (2 x)]$ です。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

ステップ 4.3.2

$f (x) = \sec^{3} (2 x)$ および $g (x) = \tan (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

ステップ 4.3.3

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $2 x$ とします。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\frac{d}{d u (4)} (\tan (u_{4})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

ステップ 4.3.3.2

$u_{4}$ に関する $\tan (u_{4})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{4})$ です。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

ステップ 4.3.3.3

$u_{4}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

ステップ 4.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

ステップ 4.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

ステップ 4.3.6

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \sec (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{5}$ を $\sec (2 x)$ とします。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u (5)} ({u_{5}}^{3}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))))$

ステップ 4.3.6.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ は $n {u_{5}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 {u_{5}}^{2} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))))$

ステップ 4.3.6.3

$u_{5}$ のすべての発生を $\sec (2 x)$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))))$

ステップ 4.3.7

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{6}$ を $2 x$ とします。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u (6)} (\sec (u_{6})) \frac{d}{d x} (2 x))))$

ステップ 4.3.7.2

$u_{6}$ に関する $\sec (u_{6})$ の微分係数は $\sec (u_{6}) \tan (u_{6})$ です。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (u_{6}) \tan (u_{6}) \frac{d}{d x} (2 x))))$

ステップ 4.3.7.3

$u_{6}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))))$

ステップ 4.3.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))))$

ステップ 4.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

ステップ 4.3.10

$2$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

ステップ 4.3.11

$2$ を $\sec^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

ステップ 4.3.12

指数を足して $\sec^{3} (2 x)$ に $\sec^{2} (2 x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.12.1

$\sec^{2} (2 x)$ を移動させます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

ステップ 4.3.12.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 ({\sec (2 x)}^{2 + 3} \cdot 2 + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

ステップ 4.3.12.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{5} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

ステップ 4.3.13

$2$ を $\sec^{5} (2 x)$ の左に移動させます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \cdot \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

ステップ 4.3.14

$2$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2)))$

ステップ 4.3.15

$2$ を $\sec (2 x) \tan (2 x)$ の左に移動させます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x)))))$

ステップ 4.3.16

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (6 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x))))$

ステップ 4.3.17

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (6 (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x)))$

ステップ 4.3.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (6 {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x)))$

ステップ 4.3.19

$1$ と $2$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)))$

ステップ 4.3.20

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) (\tan (2 x) \tan (2 x)))$

ステップ 4.3.21

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) (\tan (2 x) \tan (2 x)))$

ステップ 4.3.22

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) {\tan (2 x)}^{1 + 1})$

ステップ 4.3.23

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x)) + 8 (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

ステップ 4.4.2

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x)) + 8 (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x)) + 40 (6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

ステップ 4.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1

$2$ に $8$ をかけます。

$f^{4} (x) = 16 (\tan^{4} (2 x) \sec (2 x)) + 8 (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x)) + 40 (6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

ステップ 4.4.3.2

$6$ に $8$ をかけます。

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 48 (\tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x)) + 40 (6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

ステップ 4.4.3.3

$2$ に $40$ をかけます。

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 48 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x) + 80 \sec^{5} (2 x) + 40 (6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

ステップ 4.4.3.4

$6$ に $40$ をかけます。

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 48 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x) + 80 \sec^{5} (2 x) + 240 (\sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

ステップ 4.4.3.5

$48 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 48 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 80 \sec^{5} (2 x) + 240 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x)$

ステップ 4.4.3.6

$48 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ と $240 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 288 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 80 \sec^{5} (2 x)$

微分積分 例

微分積分例