微分積分例

$\sum_{0}^{8} 8 {(- \frac{2}{3})}^{i}$

Step 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

Step 2

公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$a_{i}$ と $a_{i + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{8 {(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{8 {(- \frac{2}{3})}^{i}}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$r = \frac{8 {(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{8 {(- \frac{2}{3})}^{i}}$

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{{(- \frac{2}{3})}^{i}}$

${(- \frac{2}{3})}^{i + 1}$ と ${(- \frac{2}{3})}^{i}$ の共通因数を約分します。

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${(- \frac{2}{3})}^{i}$ を ${(- \frac{2}{3})}^{i + 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i}}$

共通因数を約分します。

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$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i} \cdot 1}$

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i} \cdot 1}$

式を書き換えます。

$r = \frac{- \frac{2}{3}}{1}$

$- \frac{2}{3}$ を $1$ で割ります。

$r = - \frac{2}{3}$

Step 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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$i$ の $0$ を $8 {(- \frac{2}{3})}^{i}$ に代入します。

$a = 8 {(- \frac{2}{3})}^{0}$

簡約します。

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べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$a = 8 ({(- 1)}^{0} {(\frac{2}{3})}^{0})$

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$a = 8 ({(- 1)}^{0} \frac{2^{0}}{3^{0}})$

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 8 (1 \frac{2^{0}}{3^{0}})$

$\frac{2^{0}}{3^{0}}$ に $1$ をかけます。

$a = 8 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 8 \frac{1}{3^{0}}$

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 8 (\frac{1}{1})$

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$a = 8 (\frac{1}{1})$

式を書き換えます。

$a = 8 \cdot 1$

$8$ に $1$ をかけます。

$a = 8$

Step 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$8 \frac{1 - {(- \frac{2}{3})}^{9}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Step 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$8 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{2}{3})}^{9})}{1 - - \frac{2}{3}}$

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$8 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{2^{9}}{3^{9}})}{1 - - \frac{2}{3}}$

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{9}$ を掛けます。

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${(- 1)}^{9}$ を移動させます。

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

${(- 1)}^{9}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ を $1$ 乗します。

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

$9$ と $1$ をたし算します。

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

$- 1$ を $10$ 乗します。

$8 \frac{1 + 1 \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

$\frac{2^{9}}{3^{9}}$ に $1$ をかけます。

$8 \frac{1 + \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

$2$ を $9$ 乗します。

$8 \frac{1 + \frac{512}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

$3$ を $9$ 乗します。

$8 \frac{1 + \frac{512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$8 \frac{\frac{19683}{19683} + \frac{512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

公分母の分子をまとめます。

$8 \frac{\frac{19683 + 512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

$19683$ と $512$ をたし算します。

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- - \frac{2}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 + 1 (\frac{2}{3})}$

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 + \frac{2}{3}}$

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}$

公分母の分子をまとめます。

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{3 + 2}{3}}$

$3$ と $2$ をたし算します。

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{5}{3}}$

分子に分母の逆数を掛けます。

$8 (\frac{20195}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

$5$ の共通因数を約分します。

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$5$ を $20195$ で因数分解します。

$8 (\frac{5 (4039)}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

共通因数を約分します。

$8 (\frac{5 \cdot 4039}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

式を書き換えます。

$8 (\frac{4039}{19683} \cdot 3)$

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ を $19683$ で因数分解します。

$8 (\frac{4039}{3 (6561)} \cdot 3)$

共通因数を約分します。

$8 (\frac{4039}{3 \cdot 6561} \cdot 3)$

式を書き換えます。

$8 (\frac{4039}{6561})$

$8 (\frac{4039}{6561})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$8$ と $\frac{4039}{6561}$ をまとめます。

$\frac{8 \cdot 4039}{6561}$

$8$ に $4039$ をかけます。

$\frac{32312}{6561}$

Step 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{32312}{6561}$

10進法形式：

$4.92485901 \dots$

帯分数形：

$4 \frac{6068}{6561}$

微分積分 例

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