微分積分例

$f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$

Step 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $6 x - 3 x \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

$\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x \ln (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$6 - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$6 - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

式を書き換えます。

$6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$6 - 3 (1 + \ln (x))$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 3$ に $1$ をかけます。

$6 - 3 - 3 \ln (x)$

$6$ から $3$ を引きます。

$3 - 3 \ln (x)$

Step 2

関数の二次導関数を求めます。

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微分します。

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総和則では、 $3 - 3 \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

$\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \ln (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{1}{x}$

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + \frac{- 3}{x}$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

$0$ から $\frac{3}{x}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Step 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 - 3 \ln (x) = 0$

Step 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $6 x - 3 x \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

$6$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

$\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x \ln (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$f' (x) = 6 - 3 \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

$f' (x) = 6 - 3 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1)$

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

$x$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

式を書き換えます。

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x))$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

項をまとめます。

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$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 - 3 - 3 \ln (x)$

$6$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = 3 - 3 \ln (x)$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 - 3 \ln (x)$ です。

$3 - 3 \ln (x)$

Step 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 - 3 \ln (x) = 0$ を解きます。

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一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 - 3 \ln (x) = 0$

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 3 \ln (x) = - 3$

$- 3 \ln (x) = - 3$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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$- 3 \ln (x) = - 3$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

左辺を簡約します。

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$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 3}{- 3}$

右辺を簡約します。

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$- 3$ を $- 3$ で割ります。

$\ln (x) = 1$

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

対数の定義を利用して $\ln (x) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{1} = x$

方程式を $x = e^{1}$ として書き換えます。

$x = e$

Step 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

値を求める臨界点です。

$x = e$

Step 8

$x = e$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{3}{e}$

Step 9

$x = e$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = e$ は極大値です

Step 10

$x = e$ のときy値を求めます。

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式の変数 $x$ を $e$ で置換えます。

$f (e) = 6 (e) - 3 e \ln (e)$

結果を簡約します。

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各項を簡約します。

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$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (e) = 6 e - 3 e \cdot 1$

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f (e) = 6 e - 3 e$

$6 e$ から $3 e$ を引きます。

$f (e) = 3 e$

最終的な答えは $3 e$ です。

$y = 3 e$

Step 11

$f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$ の極値です。

$(e, 3 e)$ は極大値です

Step 12

微分積分 例

微分積分例