微分積分例

$\cos^{3} (2 x)$

Step 1

$\cos^{3} (2 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \cos^{3} (2 x)$

Step 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \cos^{3} (2 x) d x$

Step 4

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 5

$\cos^{3} (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 6

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Step 7

$\cos^{2} (u_{1})$ を因数分解します。

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 8

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cos^{2} (u_{1})$ を $1 - \sin^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 9

$u_{2} = \sin (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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$u_{2} = \sin (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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$\sin (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1})$

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 12

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 13

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Step 14

簡約します。

$\frac{1}{2} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 15

各積分に置換変数を戻し入れます。

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$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

Step 16

簡約します。

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$\sin^{3} (2 x)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3})$ を掛けます。

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$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ をかけます。

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 17

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$

Step 18

答えは関数 $f (x) = \cos^{3} (2 x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$

微分積分 例

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