微分積分例

$x^{2} \ln (x)$

Step 1

$x^{2} \ln (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Step 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

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$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

共通因数を約分します。

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$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$x$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

二次導関数を求めます。

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総和則では、 $2 x \ln (x) + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ の値を求めます。

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$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \ln (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

$x$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

簡約します。

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分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

項をまとめます。

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$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2 \ln (x) + 3$ です。

$2 \ln (x) + 3$

Step 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 \ln (x) + 3 = 0$ を解きます。

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二次導関数を $0$ に等しくします。

$2 \ln (x) + 3 = 0$

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 \ln (x) = - 3$

$2 \ln (x) = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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$2 \ln (x) = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

左辺を簡約します。

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$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

右辺を簡約します。

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分数の前に負数を移動させます。

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

対数の定義を利用して $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

$x$ について解きます。

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方程式を $x = e^{- \frac{3}{2}}$ として書き換えます。

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Step 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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$\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ を $f (x) = x^{2} \ln (x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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式の変数 $x$ を $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

結果を簡約します。

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積の法則を $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

$2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{\frac{3}{2}}$ を分子に移動させます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

$- \frac{3}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ を展開します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

$\frac{1}{e^{3}}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{e^{3} \cdot 2}$

$2$ を $e^{3}$ の左に移動させます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{2 e^{3}}$

最終的な答えは $- \frac{3}{2 e^{3}}$ です。

$- \frac{3}{2 e^{3}}$

$f (x) = x^{2} \ln (x)$ で代入して $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ 求めた点は、 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Step 6

区間 $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $0.12313016$ で置換えます。

$f'' (0.12313016) = 2 \ln (0.12313016) + 3$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (0.12313016)$ を簡約します。

$f'' (0.12313016) = \ln ({0.12313016}^{2}) + 3$

$0.12313016$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.12313016) = \ln (0.01516103) + 3$

最終的な答えは $\ln (0.01516103) + 3$ です。

$\ln (0.01516103) + 3$

$0.12313016$ で二次導関数は $- 1.18902654$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ で減少

Step 7

区間 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $0.32313016$ で置換えます。

$f'' (0.32313016) = 2 \ln (0.32313016) + 3$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (0.32313016)$ を簡約します。

$f'' (0.32313016) = \ln ({0.32313016}^{2}) + 3$

$0.32313016$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.32313016) = \ln (0.1044131) + 3$

最終的な答えは $\ln (0.1044131) + 3$ です。

$\ln (0.1044131) + 3$

$0.32313016$ で二次導関数は $0.74059987$ です。これは正の値なので、 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ で増加

Step 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ です。

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 9

微分積分 例

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