微分積分例

${(\tan^{-1} (8 x))}^{2}$

Step 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan^{-1} (8 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan^{-1} (8 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (8 x)]$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (8 x)]$

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan^{-1} (8 x)$ で置き換えます。

$2 \tan^{-1} (8 x) \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (8 x)]$

Step 2

$f (x) = \tan^{-1} (x)$ および $g (x) = 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $8 x$ とします。

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan^{-1} (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])$

$u_{2}$ に関する $\tan^{-1} (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ です。

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

$u_{2}$ のすべての発生を $8 x$ で置き換えます。

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + {(8 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

Step 3

微分します。

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$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + {(8 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

式を簡約します。

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積の法則を $8 (x)$ に当てはめます。

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + 8^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

$8$ を $2$ 乗します。

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x])$

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{1}{1 + 64 x^{2}} (8 \frac{d}{d x} [x]))$

$8$ と $\frac{1}{1 + 64 x^{2}}$ をまとめます。

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \tan^{-1} (8 x) (\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \cdot 1)$

式を簡約します。

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$\frac{8}{1 + 64 x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$2 \tan^{-1} (8 x) \frac{8}{1 + 64 x^{2}}$

項を並べ替えます。

$2 \tan^{-1} (8 x) \frac{8}{64 x^{2} + 1}$

Step 4

項をまとめます。

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$\frac{8}{64 x^{2} + 1}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{8 \cdot 2}{64 x^{2} + 1} \tan^{-1} (8 x)$

$8$ に $2$ をかけます。

$\frac{16}{64 x^{2} + 1} \tan^{-1} (8 x)$

$\frac{16}{64 x^{2} + 1}$ と $\tan^{-1} (8 x)$ をまとめます。

$\frac{16 \tan^{-1} (8 x)}{64 x^{2} + 1}$

微分積分 例

微分積分例