微分積分例

$\frac{\ln (x)}{x}$

Step 1

$\frac{\ln (x)}{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Step 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f' (x) = \frac{x (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = 1 - \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

総和則では、 $1 - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

$x$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

くくりだして簡約します。

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$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

$x$ を $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

$x$ を $- 2 (1 - \ln (x)) x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

$x$ を $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

簡約します。

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分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

分子を簡約します。

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各項を簡約します。

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$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

$- 2 (- \ln (x))$ を掛けます。

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$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

$- 1$ を $\ln (x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

$- 1$ を $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ です。

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Step 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ を解きます。

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二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

分子を0に等しくします。

$3 - \ln (x^{2}) = 0$

$x$ について方程式を解きます。

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方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- \ln (x^{2}) = - 3$

$- \ln (x^{2}) = - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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$- \ln (x^{2}) = - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

左辺を簡約します。

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2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

$\ln (x^{2})$ を $1$ で割ります。

$\ln (x^{2}) = \frac{- 3}{- 1}$

右辺を簡約します。

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$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$\ln (x^{2}) = 3$

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2})} = e^{3}$

対数の定義を利用して $\ln (x^{2}) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{3} = x^{2}$

$x$ について解きます。

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方程式を $x^{2} = e^{3}$ として書き換えます。

$x^{2} = e^{3}$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{e^{3}}$

$\pm \sqrt{e^{3}}$ を簡約します。

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$e^{2}$ を因数分解します。

$x = \pm \sqrt{e^{2} e}$

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm e \sqrt{e}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = e \sqrt{e}$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - e \sqrt{e}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = e \sqrt{e}, - e \sqrt{e}$

Step 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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$e \sqrt{e}$ を $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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式の変数 $x$ を $e \sqrt{e}$ で置換えます。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$

結果を簡約します。

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$\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ に $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ をかけます。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

分母を組み合わせて簡約します。

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$\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ に $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ をかけます。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e \sqrt{e} \sqrt{e}}$

$\sqrt{e}$ を移動させます。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

$\sqrt{e}$ を $1$ 乗します。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

$\sqrt{e}$ を $1$ 乗します。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{2}}$

${\sqrt{e}}^{2}$ を $e$ に書き換えます。

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$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{e}$ を $e^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

$2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

式を書き換えます。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

簡約します。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{1 + 1}}$

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

最終的な答えは $\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$ です。

$\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ で代入して $e \sqrt{e}$ 求めた点は、 $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

$- e \sqrt{e}$ は $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ の定義域にはありません。 $- e \sqrt{e}$ における変曲点はありません。

$- e \sqrt{e}$ is not in the domain

変曲点になりうる点を判定します。

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Step 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, e \sqrt{e}) \cup (e \sqrt{e}, \infty)$

Step 6

区間 $(- \infty, e \sqrt{e})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $4.38168907$ で置換えます。

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.38168907)}^{2})}{{(4.38168907)}^{3}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4.38168907$ を $2$ 乗します。

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{{4.38168907}^{3}}$

$4.38168907$ を $3$ 乗します。

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{84.12492089}$

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (19.1991991)}{84.12492089}$

$19.1991991$ の対数の底 $2.71828182$ は約 $2.95486856$ です。

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 2.95486856}{84.12492089}$

$- 1$ に $2.95486856$ をかけます。

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 2.95486856}{84.12492089}$

$3$ から $2.95486856$ を引きます。

$f'' (4.38168907) = - \frac{0.04513143}{84.12492089}$

$0.04513143$ を $84.12492089$ で割ります。

$f'' (4.38168907) = - 1 \cdot 0.00053648$

$- 1$ に $0.00053648$ をかけます。

$f'' (4.38168907) = - 0.00053648$

最終的な答えは $- 0.00053648$ です。

$- 0.00053648$

$4.38168907$ で二次導関数は $- 0.00053648$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, e \sqrt{e})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, e \sqrt{e})$ で減少

Step 7

区間 $(e \sqrt{e}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $4.58168907$ で置換えます。

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.58168907)}^{2})}{{(4.58168907)}^{3}}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4.58168907$ を $2$ 乗します。

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{{4.58168907}^{3}}$

$4.58168907$ を $3$ 乗します。

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{96.17824304}$

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (20.99187473)}{96.17824304}$

$20.99187473$ の対数の底 $2.71828182$ は約 $3.04413544$ です。

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 3.04413544}{96.17824304}$

$- 1$ に $3.04413544$ をかけます。

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 3.04413544}{96.17824304}$

$3$ から $3.04413544$ を引きます。

$f'' (4.58168907) = - \frac{- 0.04413544}{96.17824304}$

$- 0.04413544$ を $96.17824304$ で割ります。

$f'' (4.58168907) = 0.00045889$

最終的な答えは $0.00045889$ です。

$0.00045889$

$4.58168907$ で二次導関数は $0.00045889$ です。これは正の値なので、 $(e \sqrt{e}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(e \sqrt{e}, \infty)$ で増加

Step 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ です。

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Step 9

微分積分 例

微分積分例