微分積分例

$f (x) = \sin (3 x^{5})$

Step 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x^{5}$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

$u$ のすべての発生を $3 x^{5}$ で置き換えます。

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (3 x^{5})$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (3 \frac{d}{d x} (x^{5}))$

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (3 (5 x^{4}))$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$5$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \cos (3 x^{5}) (15 x^{4})$

$\cos (3 x^{5}) (15 x^{4})$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 15 x^{4} \cos (3 x^{5})$

Step 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{4} \cos (3 x^{5})$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (3 x^{5})]$ です。

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4} \cos (3 x^{5}))$

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \cos (3 x^{5})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 15 (x^{4} \frac{d}{d x} (\cos (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 3 x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x^{5}$ とします。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (u) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

$u$ のすべての発生を $3 x^{5}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- \sin (3 x^{5}) (3 \frac{d}{d x} (x^{5}))) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 3 \sin (3 x^{5}) \frac{d}{d x} x^{5}) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 3 \sin (3 x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

$5$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = 15 (x^{4} (- 15 \sin (3 x^{5}) x^{4}) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

指数を足して $x^{4}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{4}$ を移動させます。

$f'' (x) = 15 (x^{4} x^{4} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 15 (x^{4 + 4} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

$4$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5})) + \cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 15 (x^{8} (- 15 \sin (3 x^{5}))) + 15 (\cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 15$ に $15$ をかけます。

$f'' (x) = - 225 (x^{8} (\sin (3 x^{5}))) + 15 (\cos (3 x^{5}) (4 x^{3}))$

$4$ に $15$ をかけます。

$f'' (x) = - 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 \cos (3 x^{5}) x^{3}$

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$

Step 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$ です。

$- 225 x^{8} \sin (3 x^{5}) + 60 x^{3} \cos (3 x^{5})$

微分積分 例

微分積分例