微分積分例

$f (x) = \cot (x)$

Step 1

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$f' (x) = - \csc^{2} (x)$

Step 2

二次導関数を求めます。

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$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \csc^{2} (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ です。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \csc^{2} (x)$

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\csc (x)$ とします。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

$u$ のすべての発生を $\csc (x)$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (2 \csc (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$f'' (x) = - 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \csc (x)) \cot (x)$

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \csc (x)) \cot (x)$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Step 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ です。

$2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

微分積分 例