微分積分例

$y = e^{4 x} \sin (x)$

Step 1

一次導関数を求めます。

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$f (x) = e^{4 x}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = e^{4 x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x})$

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x})$

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (4 x))$

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (4 x))$

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x))$

微分します。

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$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x)))$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

式を簡約します。

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$4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \cdot 4)$

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (4 \cdot e^{4 x})$

項を並べ替えます。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \sin (x)$

Step 2

二次導関数を求めます。

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総和則では、 $e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{4 x} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (x)]$ の値を求めます。

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$f (x) = e^{4 x}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = e^{4 x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (x)]$ の値を求めます。

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$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 e^{4 x} \sin (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 \frac{d}{d x} (e^{4 x} \sin (x))$

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}))$

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}))$

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (4 x)))$

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)))$

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))))$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)))$

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \cdot 4))$

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (4 e^{4 x}))$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x)) + 4 (\sin (x) (4 e^{4 x}))$

項をまとめます。

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$4$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 16 (\sin (x) (e^{4 x}))$

$\cos (x) (4 e^{4 x})$ と $4 e^{4 x} \cos (x)$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\cos (x)$ を移動させます。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 16 \sin (x) e^{4 x}$

$4 e^{4 x} \cos (x)$ と $4 e^{4 x} \cos (x)$ をたし算します。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + 8 e^{4 x} \cos (x) + 16 \sin (x) e^{4 x}$

$\sin (x)$ を移動させます。

$f'' (x) = - 1 \cdot (e^{4 x} \sin (x)) + 16 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$

$- 1 e^{4 x}$ を $- e^{4 x}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - e^{4 x} \sin (x) + 16 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$

$- e^{4 x} \sin (x)$ と $16 e^{4 x} \sin (x)$ をたし算します。

$f'' (x) = 15 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$

微分積分 例

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