微分積分例

$lim_{x \to 0} x \ln (x)$

Step 1

両側極限を右側極限に変えます。

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

Step 2

$x \ln (x)$ を $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

Step 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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分子と分母の極限値を求めます。

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分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x)$ は境界がなく減少します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

$x$ が $0$ に右から近づくとき、分子が定数で分母が $0$ に近づくので、分数 $\frac{1}{x}$ は無限大に近づきます。

$\frac{- \infty}{\infty}$

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

分子と分母の微分係数を求めます。

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分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- x^{2})$

$\frac{1}{x}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

共通因数を約分します。

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$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

$x$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0^{+}} - x$

Step 4

極限を求めます。

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$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 0^{+}} x$

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$0$

微分積分 例

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