微分積分例

$10 \cos^{4} (x)$

Step 1

$10 \cos^{4} (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = 10 \cos^{4} (x)$

Step 2

一次導関数を求めます。

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一次導関数を求めます。

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$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 \cos^{4} (x)$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ です。

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$f' (x) = 10 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 10 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$f' (x) = 10 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

$4$ に $10$ をかけます。

$f' (x) = 40 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f' (x) = 40 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

$- 1$ に $40$ をかけます。

$f' (x) = - 40 \cos^{3} (x) \sin (x)$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 40 \cos^{3} (x) \sin (x)$ です。

$- 40 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Step 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 40 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ を解きます。

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一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 40 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

$\cos^{3} (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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$\cos^{3} (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos^{3} (x) = 0$

$x$ について $\cos^{3} (x) = 0$ を解きます。

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Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (x) = 0$

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

右辺を簡約します。

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$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

分数をまとめます。

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$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

分子を簡約します。

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$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

右辺を簡約します。

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$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

最終解は $- 40 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

Step 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{π n}{2}$ です。

$\frac{π n}{2}$

Step 5

微分係数 $f' (x) = - 40 \cos^{3} (x) \sin (x)$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = 10 \cos^{4} (x)$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ です。

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Step 6

区間 $(- \infty, \frac{π n}{2})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $\frac{π n}{2} - 1$ で置換えます。

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

最終的な答えは $- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ です。

$- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

簡約します。

$- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

$x = \frac{π n}{2} - 1$ で微分係数は $- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, \frac{π n}{2})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{π n}{2})$ で減少

Step 7

区間 $(\frac{π n}{2}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $\frac{π n}{2} + 1$ で置換えます。

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

最終的な答えは $- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ です。

$- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

簡約します。

$- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

$x = \frac{π n}{2} + 1$ で微分係数は $- 40 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ です。これは負の値なので、関数は $(\frac{π n}{2}, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(\frac{π n}{2}, \infty)$ で減少

Step 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$ で減少

Step 9

微分積分 例

微分積分例