微分積分例

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Step 1

二次導関数を求めます。

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一次導関数を求めます。

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$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

微分します。

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$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

$\frac{1}{2}$ と $\cos (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

二次導関数を求めます。

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$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

微分します。

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$\frac{1}{2}$ と $\sin (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

分数をまとめます。

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$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ です。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Step 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ を解きます。

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二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

分子を0に等しくします。

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

$x$ について方程式を解きます。

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方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

右辺を簡約します。

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$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{x}{2} = 0$

分子を0に等しくします。

$x = 0$

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = π - 0$

$x$ について解きます。

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方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

方程式の両辺を簡約します。

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左辺を簡約します。

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$2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

式を書き換えます。

$x = 2 (π - 0)$

右辺を簡約します。

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$π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

$\sin (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

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関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

$\sin (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

答えをまとめます。

$x = 2 π n$ 、任意の整数 $n$

Step 3

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ で代入して求めた点は、 $(,)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(,)$

Step 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Step 5

区間 $(- \infty,)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (\frac{- 0.1}{2})}{4}$

結果を簡約します。

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分子を簡約します。

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$- 0.1$ を $2$ で割ります。

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (- 0.05)}{4}$

$\sin (- 0.05)$ の値を求めます。

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 0.04997916}{4}$

式を簡約します。

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$- 0.04997916$ を $4$ で割ります。

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

$- 1$ に $- 0.01249479$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

最終的な答えは $0.01249479$ です。

$0.01249479$

$- 0.1$ で二次導関数は $0.01249479$ です。これは正の値なので、 $(- \infty,)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty,)$ で増加

Step 6

区間 $(, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (\frac{0.1}{2})}{4}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0.1$ を $2$ で割ります。

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (0.05)}{4}$

$\sin (0.05)$ の値を求めます。

$f'' (0.1) = - \frac{0.04997916}{4}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$0.04997916$ を $4$ で割ります。

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.01249479$

$- 1$ に $0.01249479$ をかけます。

$f'' (0.1) = - 0.01249479$

最終的な答えは $- 0.01249479$ です。

$- 0.01249479$

$0.1$ で二次導関数は $- 0.01249479$ です。これは負の値なので、 $(, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(, \infty)$ で減少

Step 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(,)$ です。

$(,)$

Step 8

微分積分 例

微分積分例