微分積分例

$\cos (x y) = 2 + \sin (y)$

Step 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (2 + \sin (y))$

Step 2

方程式の左辺を微分します。

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$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

$y$ に $1$ をかけます。

$- \sin (x y) (x y' + y)$

簡約します。

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分配則を当てはめます。

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

項を並べ替えます。

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Step 3

方程式の右辺を微分します。

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微分します。

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総和則では、 $2 + \sin (y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

$\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ の値を求めます。

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$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$0 + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 + \cos (y) y'$

$0$ と $\cos (y) y'$ をたし算します。

$\cos (y) y'$

Step 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Step 5

$y'$ について解きます。

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左辺を簡約します。

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$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ の因数を並べ替えます。

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

右辺を簡約します。

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$\cos (y) y'$ の因数を並べ替えます。

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = y' \cos (y)$

方程式の両辺から $y' \cos (y)$ を引きます。

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - y' \cos (y) = 0$

方程式の両辺に $y \sin (x y)$ を足します。

$- x y' \sin (x y) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

$y'$ を $- x y' \sin (x y) - y' \cos (y)$ で因数分解します。

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$y'$ を $- x y' \sin (x y)$ で因数分解します。

$y' (- x \sin (x y)) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

$y'$ を $- y' \cos (y)$ で因数分解します。

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

$y'$ を $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y))$ で因数分解します。

$y' (- x \sin (x y) - 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

$- 1 \cos (y)$ を $- \cos (y)$ に書き換えます。

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ の各項を $- x \sin (x y) - \cos (y)$ で割り、簡約します。

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$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ の各項を $- x \sin (x y) - \cos (y)$ で割ります。

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

左辺を簡約します。

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$- x \sin (x y) - \cos (y)$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

右辺を簡約します。

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$- 1$ を $- x \sin (x y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - \cos (y)}$

$- 1$ を $- \cos (y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - (\cos (y))}$

$- 1$ を $- (x \sin (x y)) - (\cos (y))$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) + \cos (y))}$

負の数を書き換えます。

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$- (x \sin (x y) + \cos (y))$ を $- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))$ に書き換えます。

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))}$

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$

Step 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$

微分積分 例

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