微分積分例

$g (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$

Step 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$ を ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}]$

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4 x + 20$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4 x + 20$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 20$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])$

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [20])$

$20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $20$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 + 0)$

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$ の因数を並べ替えます。

$(2 x - 4) \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

$2 x - 4$ に $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 x - 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) - 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

$2$ を $2 (x) + 2 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 2)}{2 ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})}$

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x - 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

式を書き換えます。

$\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$f (x) = x - 2$ および $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

${({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

式を書き換えます。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

簡約します。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$1$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} - 4 x + 20$ とします。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} - 4 x + 20$ で置き換えます。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

公分母の分子をまとめます。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $2$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

$1$ から $2$ を引きます。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

分数の前に負数を移動させます。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 20$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ です。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

$- 4$ に $1$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

$20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $20$ の微分係数は $0$ です。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + 0))}{x^{2} - 4 x + 20}$

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4))}{x^{2} - 4 x + 20}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4))}{x^{2} - 4 x + 20}$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$u_{2} = {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $u_{2}$ を ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

$u_{2}$ を $1$ 乗します。

$g'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x - 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$u_{2}$ を $1$ 乗します。

$g'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x - 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$g'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x - 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$1$ と $1$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x - 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = u_{2}$ であり、 $b = x - 2$ です。

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 2) (u_{2} - (x - 2))}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 2) (u_{2} - x + 2)}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 2) (u_{2} - x + 2)}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$u_{2}$ のすべての発生を ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$g'' (x) = \frac{\frac{({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x - 2) ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - x + 2)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x - 2) ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - x + 2)$ を展開します。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ と $x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ について因数を並べ替えます。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$- x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ と $x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 0 + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ と $- 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ について因数を並べ替えます。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ から $2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 + 0 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

指数を足して ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

公分母の分子をまとめます。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$1$ と $1$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$2$ を $2$ で割ります。

$g'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 4 x + 20) + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

${(x^{2} - 4 x + 20)}^{1}$ を簡約します。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

積の可換性を利用して書き換えます。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x$ を移動させます。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x \cdot x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$x$ に $x$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + 2 \cdot x - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + 2 x + 2 x - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$- 2$ に $2$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + 2 x + 2 x - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$g'' (x) = \frac{\frac{- 4 x + 20 + 0 + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$- 4 x + 20$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{\frac{- 4 x + 20 + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$- 4 x$ と $2 x$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{\frac{- 2 x + 20 + 2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$- 2 x + 20 + 2 x - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{\frac{0 + 20 - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$0$ と $20$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{\frac{20 - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

$20$ から $4$ を引きます。

$g'' (x) = \frac{\frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{\frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$ を積として書き換えます。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$

$\frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4 x + 20)}$

指数を足して ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ に $x^{2} - 4 x + 20$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ に $x^{2} - 4 x + 20$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2} - 4 x + 20$ を $1$ 乗します。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4 x + 20)}$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

公分母の分子をまとめます。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

$1$ と $2$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Step 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$ を ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})$

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4 x + 20$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4 x + 20$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 20$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))$

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (20))$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (20))$

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (20))$

$20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $20$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + 0)$

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4)$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = (2 x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}})$

$2 x - 4$ に $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x - 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x) - 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

$2$ を $2 (x) + 2 (- 2)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{2 ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})}$

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

$x$ に関する $g (x)$ の一次導関数は $\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Step 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

分子を0に等しくします。

$x - 2 = 0$

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

Step 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

Step 7

値を求める臨界点です。

$x = 2$

Step 8

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{16}{{({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{16}{{(4 - 4 \cdot 2 + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{16}{{(4 - 8 + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

$4$ から $8$ を引きます。

$\frac{16}{{(- 4 + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

$- 4$ と $20$ をたし算します。

$\frac{16}{16^{\frac{3}{2}}}$

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{16}{{(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{16}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{16}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

式を書き換えます。

$\frac{16}{4^{3}}$

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{16}{64}$

$16$ と $64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$16$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{16 (1)}{64}$

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$16$ を $64$ で因数分解します。

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

共通因数を約分します。

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

式を書き換えます。

$\frac{1}{4}$

Step 10

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

Step 11

$x = 2$ のときy値を求めます。

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式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$g (2) = \sqrt{{(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 20}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $2$ 乗します。

$g (2) = \sqrt{4 - 4 \cdot 2 + 20}$

$- 4$ に $2$ をかけます。

$g (2) = \sqrt{4 - 8 + 20}$

$4$ から $8$ を引きます。

$g (2) = \sqrt{- 4 + 20}$

$- 4$ と $20$ をたし算します。

$g (2) = \sqrt{16}$

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$g (2) = \sqrt{4^{2}}$

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$g (2) = 4$

最終的な答えは $4$ です。

$y = 4$

Step 12

$g (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$ の極値です。

$(2, 4)$ は極小値です

Step 13

微分積分 例

微分積分例