微分積分例

$y = 180 x - 0.3 x^{3}$

Step 1

$y = 180 x - 0.3 x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = 180 x - 0.3 x^{3}$

Step 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $180 x - 0.3 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

$\frac{d}{d x} [180 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$180$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $180 x$ の微分係数は $180 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$180 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

$180$ に $1$ をかけます。

$180 + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

$\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 0.3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.3 x^{3}$ の微分係数は $- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$180 - 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$180 - 0.3 (3 x^{2})$

$3$ に $- 0.3$ をかけます。

$180 - 0.9 x^{2}$

項を並べ替えます。

$- 0.9 x^{2} + 180$

Step 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $- 0.9 x^{2} + 180$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [180]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (180)$

$\frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 0.9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.9 x^{2}$ の微分係数は $- 0.9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 0.9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (180)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 0.9 (2 x) + \frac{d}{d x} (180)$

$2$ に $- 0.9$ をかけます。

$f'' (x) = - 1.8 x + \frac{d}{d x} (180)$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$180$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $180$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 1.8 x + 0$

$- 1.8 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 1.8 x$

Step 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 0.9 x^{2} + 180 = 0$

Step 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $180 x - 0.3 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (180 x) + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

$\frac{d}{d x} [180 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$180$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $180 x$ の微分係数は $180 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 180 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

$180$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 180 + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

$\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 0.3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.3 x^{3}$ の微分係数は $- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 180 - 0.3 \frac{d}{d x} x^{3}$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 180 - 0.3 (3 x^{2})$

$3$ に $- 0.3$ をかけます。

$f' (x) = 180 - 0.9 x^{2}$

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 0.9 x^{2} + 180$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 0.9 x^{2} + 180$ です。

$- 0.9 x^{2} + 180$

Step 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 0.9 x^{2} + 180 = 0$ を解きます。

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一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 0.9 x^{2} + 180 = 0$

方程式の両辺から $180$ を引きます。

$- 0.9 x^{2} = - 180$

$- 0.9 x^{2} = - 180$ の各項を $- 0.9$ で割り、簡約します。

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$- 0.9 x^{2} = - 180$ の各項を $- 0.9$ で割ります。

$\frac{- 0.9 x^{2}}{- 0.9} = \frac{- 180}{- 0.9}$

左辺を簡約します。

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$- 0.9$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$\frac{- 0.9 x^{2}}{- 0.9} = \frac{- 180}{- 0.9}$

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 180}{- 0.9}$

右辺を簡約します。

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$- 180$ を $- 0.9$ で割ります。

$x^{2} = 200$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{200}$

$\pm \sqrt{200}$ を簡約します。

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$200$ を $10^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$100$ を $200$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{100 (2)}$

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{10^{2} \cdot 2}$

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 10 \sqrt{2}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 10 \sqrt{2}$

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 10 \sqrt{2}$

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 10 \sqrt{2}, - 10 \sqrt{2}$

Step 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

Step 8

値を求める臨界点です。

$x = 10 \sqrt{2}, - 10 \sqrt{2}$

Step 9

$x = 10 \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 1.8 (10 \sqrt{2})$

Step 10

$- 1.8 (10 \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$10$ に $- 1.8$ をかけます。

$- 18 \sqrt{2}$

$- 18$ に $\sqrt{2}$ をかけます。

$- 25.45584412$

Step 11

$x = 10 \sqrt{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 10 \sqrt{2}$ は極大値です

Step 12

$x = 10 \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $10 \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (10 \sqrt{2}) = 180 (10 \sqrt{2}) - 0.3 {(10 \sqrt{2})}^{3}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$10$ に $180$ をかけます。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 {(10 \sqrt{2})}^{3}$

積の法則を $10 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (10^{3} {\sqrt{2}}^{3})$

$10$ を $3$ 乗します。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 {\sqrt{2}}^{3})$

${\sqrt{2}}^{3}$ を ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{2^{3}})$

$2$ を $3$ 乗します。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{8})$

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{4 (2)})$

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

累乗根の下から項を取り出します。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 (2 \sqrt{2}))$

$2$ に $1000$ をかけます。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (2000 \sqrt{2})$

$- 0.3 (2000 \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$2000$ に $- 0.3$ をかけます。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 600 \sqrt{2}$

$- 600$ に $\sqrt{2}$ をかけます。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 848.52813742$

$1800 \sqrt{2}$ から $848.52813742$ を引きます。

$f (10 \sqrt{2}) = 1697.05627484$

最終的な答えは $1697.05627484$ です。

$y = 1697.05627484$

Step 13

$x = - 10 \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 1.8 (- 10 \sqrt{2})$

Step 14

$- 1.8 (- 10 \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 10$ に $- 1.8$ をかけます。

$18 \sqrt{2}$

$18$ に $\sqrt{2}$ をかけます。

$25.45584412$

Step 15

$x = - 10 \sqrt{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 10 \sqrt{2}$ は極小値です

Step 16

$x = - 10 \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $- 10 \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- 10 \sqrt{2}) = 180 (- 10 \sqrt{2}) - 0.3 {(- 10 \sqrt{2})}^{3}$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 10$ に $180$ をかけます。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 {(- 10 \sqrt{2})}^{3}$

積の法則を $- 10 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 ({(- 10)}^{3} {\sqrt{2}}^{3})$

$- 10$ を $3$ 乗します。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 {\sqrt{2}}^{3})$

${\sqrt{2}}^{3}$ を ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{2^{3}})$

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{8})$

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{4 (2)})$

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 (2 \sqrt{2}))$

$2$ に $- 1000$ をかけます。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 2000 \sqrt{2})$

$- 0.3 (- 2000 \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 2000$ に $- 0.3$ をかけます。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} + 600 \sqrt{2}$

$600$ に $\sqrt{2}$ をかけます。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} + 848.52813742$

$- 1800 \sqrt{2}$ と $848.52813742$ をたし算します。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1697.05627484$

最終的な答えは $- 1697.05627484$ です。

$y = - 1697.05627484$

Step 17

$f (x) = 180 x - 0.3 x^{3}$ の極値です。

$(10 \sqrt{2}, 1697.05627484)$ は極大値です

$(- 10 \sqrt{2}, - 1697.05627484)$ は極小値です

Step 18

微分積分 例

微分積分例