微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$

Step 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

$2$ に $- 9$ をかけます。

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

$12$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

$6 x^{2} - 18 x + 12$ と $0$ をたし算します。

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Step 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $6 x^{2} - 18 x + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

$\frac{d}{d x} [- 18 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

$- 18$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x - 18 + \frac{d}{d x} (12)$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x - 18 + 0$

$12 x - 18$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x - 18$

Step 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Step 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

総和則では、 $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$2$ に $- 9$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

$12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} (1)$

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

$6 x^{2} - 18 x + 12$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} - 18 x + 12$ です。

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Step 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

方程式の左辺を因数分解します。

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$6$ を $6 x^{2} - 18 x + 12$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) - 18 x + 12 = 0$

$6$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) + 12 = 0$

$6$ を $12$ で因数分解します。

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

$6$ を $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ で因数分解します。

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

$6$ を $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2$ で因数分解します。

$6 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

因数分解。

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たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x + 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $- 3$ です。

$- 2, - 1$

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

不要な括弧を削除します。

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

最終解は $6 (x - 2) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, 1$

Step 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

Step 7

値を求める臨界点です。

$x = 2, 1$

Step 8

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 (2) - 18$

Step 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$12$ に $2$ をかけます。

$24 - 18$

$24$ から $18$ を引きます。

$6$

Step 10

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

Step 11

$x = 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

指数を足して $2$ に ${(2)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ に ${(2)}^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ を $1$ 乗します。

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (2) = 2^{1 + 3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

$1$ と $3$ をたし算します。

$f (2) = 2^{4} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

$2$ を $4$ 乗します。

$f (2) = 16 - 9 {(2)}^{2} + 12 (2) + 1$

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 16 - 9 \cdot 4 + 12 (2) + 1$

$- 9$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 16 - 36 + 12 (2) + 1$

$12$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 16 - 36 + 24 + 1$

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$16$ から $36$ を引きます。

$f (2) = - 20 + 24 + 1$

$- 20$ と $24$ をたし算します。

$f (2) = 4 + 1$

$4$ と $1$ をたし算します。

$f (2) = 5$

最終的な答えは $5$ です。

$y = 5$

Step 12

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 (1) - 18$

Step 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

$12$ に $1$ をかけます。

$12 - 18$

$12$ から $18$ を引きます。

$- 6$

Step 14

$x = 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極大値です

Step 15

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 2 {(1)}^{3} - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 2 \cdot 1 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

$2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 2 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1) + 1$

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 2 - 9 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

$- 9$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 2 - 9 + 12 (1) + 1$

$12$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 2 - 9 + 12 + 1$

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$2$ から $9$ を引きます。

$f (1) = - 7 + 12 + 1$

$- 7$ と $12$ をたし算します。

$f (1) = 5 + 1$

$5$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = 6$

最終的な答えは $6$ です。

$y = 6$

Step 16

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ の極値です。

$(2, 5)$ は極小値です

$(1, 6)$ は極大値です

Step 17

微分積分 例

微分積分例