微分積分例

$lim_{x \to - 3} \frac{(x^{3} + 27)}{x + 3}$

Step 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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分子と分母の極限値を求めます。

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分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{3} + 27}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

分子の極限値を求めます。

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極限を求めます。

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$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{3} + lim_{x \to - 3} 27}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{3} + lim_{x \to - 3} 27}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $27$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{3} + 27}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 3)}^{3} + 27}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

答えを簡約します。

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$- 3$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 27 + 27}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

$- 27$ と $27$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

分母の極限値を求めます。

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極限を求めます。

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$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 3 + 3}$

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 3} \frac{(x^{3} + 27)}{x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 27]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

分子と分母の微分係数を求めます。

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分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 27]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

総和則では、 $x^{3} + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [27]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2}}{1 + 0}$

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{3 x^{2}}{1}$

$3 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to - 3} 3 x^{2}$

Step 2

極限を求めます。

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$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 lim_{x \to - 3} x^{2}$

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}$

Step 3

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$3 {(- 3)}^{2}$

Step 4

答えを簡約します。

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$- 3$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 9$

$3$ に $9$ をかけます。

$27$

微分積分 例

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