微分積分例

$lim_{x \to 1} \ln (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$

Step 1

対数の内側に極限を移動させます。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1})$

Step 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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分子と分母の極限値を求めます。

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分子と分母の極限値をとります。

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

分子の極限値を求めます。

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極限を求めます。

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$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\ln (\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\ln (\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\ln (\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

答えを簡約します。

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各項を簡約します。

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1のすべての数の累乗は1です。

$\ln (\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

$1$ から $1$ を引きます。

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1})$

分母の極限値を求めます。

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極限を求めます。

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$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1})$

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1})$

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\ln (\frac{0}{1 - 1 \cdot 1})$

答えを簡約します。

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$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (\frac{0}{1 - 1})$

$1$ から $1$ を引きます。

$\ln (\frac{0}{0})$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\ln (\frac{0}{0})$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\ln (\frac{0}{0})$

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\ln (\frac{0}{0})$

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

分子と分母の微分係数を求めます。

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分母と分子を微分します。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]})$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]})$

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + 0})$

$1$ と $0$ をたし算します。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1})$

$2 x$ を $1$ で割ります。

$\ln (lim_{x \to 1} 2 x)$

Step 3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\ln (2 lim_{x \to 1} x)$

Step 4

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\ln (2 \cdot 1)$

Step 5

$2$ に $1$ をかけます。

$\ln (2)$

Step 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (2)$

10進法形式：

$0.69314718 \dots$

微分積分 例

微分積分例