微分積分例

$2 \sin^{2} (1 + x)$

Step 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin^{2} (1 + x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (1 + x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (1 + x)]$

Step 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (1 + x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (1 + x)$ とします。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (1 + x)])$

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (1 + x)])$

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (1 + x)$ で置き換えます。

$2 (2 \sin (1 + x) \frac{d}{d x} [\sin (1 + x)])$

Step 3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (\sin (1 + x) \frac{d}{d x} [\sin (1 + x)])$

Step 4

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 + x$ とします。

$4 \sin (1 + x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x])$

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$4 \sin (1 + x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 + x])$

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$4 \sin (1 + x) (\cos (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x])$

Step 5

微分します。

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総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \sin (1 + x) \cos (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 \sin (1 + x) \cos (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$4 \sin (1 + x) \cos (1 + x) \frac{d}{d x} [x]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \sin (1 + x) \cos (1 + x) \cdot 1$

式を簡約します。

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$4$ に $1$ をかけます。

$4 \sin (1 + x) \cos (1 + x)$

$4 \sin (1 + x) \cos (1 + x)$ の因数を並べ替えます。

$4 \cos (1 + x) \sin (1 + x)$

微分積分 例