微分積分例

$\int t \sec^{2} (9 t) d t$

Step 1

$u = t$ と $d v = \sec^{2} (9 t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$t (\frac{1}{9} \tan (9 t)) - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 2

簡約します。

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$\frac{1}{9}$ と $\tan (9 t)$ をまとめます。

$t \frac{\tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

$t$ と $\frac{\tan (9 t)}{9}$ をまとめます。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 3

$\frac{1}{9}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - (\frac{1}{9} \int \tan (9 t) d t)$

Step 4

$u = 9 t$ とします。次に $d u = 9 d t$ すると、 $\frac{1}{9} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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$u = 9 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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$9 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [9 t]$

$9$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $9 t$ の微分係数は $9 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$9 \frac{d}{d t} [t]$

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 \cdot 1$

$9$ に $1$ をかけます。

$9$

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \tan (u) \frac{1}{9} d u$

Step 5

$\tan (u)$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \frac{\tan (u)}{9} d u$

Step 6

$\frac{1}{9}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} \int \tan (u) d u)$

Step 7

簡約します。

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$\frac{1}{9}$ に $\frac{1}{9}$ をかけます。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} \int \tan (u) d u$

$9$ に $9$ をかけます。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} \int \tan (u) d u$

Step 8

$\tan (u)$ の $u$ に関する積分は $\ln (| \sec (u) |)$ です。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Step 9

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$ を $\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$

Step 10

$u$ のすべての発生を $9 t$ で置き換えます。

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (9 t) |) + C$

微分積分 例

微分積分例